Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции

Определение. Функция , определённая на некотором интервале, называется возрастающей (убывающей) на этом интервале, если из неравенства , где и любые две точки интервала, следует неравенство , .

Обозначив , , получим, что для возрастающей и для убывающей функций.

Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции). Если дифференцируемая в интервале функция возрастает, то её производная не может быть отрицательной ни в одной точке данного интервала, т.е.

для .

Доказательство. Пусть - возрастающая функция в интервале . Рассмотрим две точки и из этого интервала. Тогда .

Т.к. предел положительной функции не может быть отрицательным, то .

Т.к. функция дифференцируема, то и, следовательно .

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2 (необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая в интервале функция убывает, то её производная не может быть положительной ни в одной точке данного интервала, т.е. для .

Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если непрерывная на отрезке функция в каждой внутренней точке этого отрезка имеет положительную производную, то эта функция возрастает на отрезке .

Доказательство. Пусть для всех . Возьмём две произвольные точки и из отрезка , причём .

По формуле Лагранжа для отрезка получим , .

Т.к. по условию и то произведение и, следовательно, Отсюда т.е. функция возрастает на отрезке .

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 4 (достаточное условие убывания функции).

Если непрерывная на отрезке функция в каждой внутренней точке этого отрезка имеет отрицательную производную, то эта функция

убывает на отрезке .

Пример. Найти интервалы монотонности функции , , при функция монотонно возрастает, а при монотонно убывает.

Дата добавления: 2015-07-15