Локальный экстремум функции

Определение 1. Функция имеет локальный максимум в т. , если существует такая окрестность точка , что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Определение 2. Функция имеет локальный минимум в т. , если существует такая окрестность точка , что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Максимум и минимум объединяются общим названием экстремум функции.

Теорема (необходимый признак существования экстремума функции).

Если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке максимум или минимум, то её производная при обращается в нуль, т.е.

Доказательство. Пусть для определённости функция имеет в т. максимум. По определению максимума должна существовать такая окрестность точки , что для всех точек этой окрестности . Т.к. по условию функция имеет в т. производную , то, по теореме Ферма, .

Аналогично доказывается теорема для случая минимума функции.

До сих пор рассматривался случай, когда функция имела производную в точке экстремума. Однако встречаются случаи, когда в точках экстремума функция не имеет производной. Например, функция в т. не имеет производной, но эта точка является точкой минимума. Поэтому сформулируем необходимый признак существования экстремума следующим образом:

Если непрерывная функция имеет в т. экстремум, то производная функции обращается в этой точке в нуль или не существует.

Однако условие (или не существует) не является достаточным для существования экстремума. Например, для функции производная при обращается в нуль, но точка не является точкой экстремума.

Определение. Значение аргумента , при котором производная обращается в нуль или не существует, называется критическим (критической точкой).

Т.о., экстремум функции, если он существует, может иметь место только в критических точках.

Теорема. (достаточный признак существования экстремума).

Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением, может быть, самой этой точки) и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть - критическая точка и пусть, для определённости, при переходе аргумента через т. производная меняет знак с плюса на минус, т.е. существует достаточно малое число , такое, что для и для . На основании теорем о возрастании и убывании функций заключаем, что возрастает на отрезке и убывает на отрезке .

Следовательно, значение функции в т. больше, чем во всех остальных точках сегмента , т.е. в т. функция имеет максимум.

Аналогично доказывается теорема и в случае минимума.

Замечание. Если производная не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет ни максимума, ни минимума.

Пример.

	+		-		+

Теорема. Достаточный признак существования экстремума (по второй производной)

Пусть в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная существует и отлична от нуля (). Тогда, если , то в точке функция имеет максимум, если же , то в точке функция имеет минимум.

Доказательство. Пусть для определённости . По определению второй производной имеем: . Т.к. по условию , то

. Учитывая, что , получаем .

Т.к. предел отрицателен, то для малых по абсолютной величине значений выполняется неравенство .

Пусть , тогда . Если же , то .

Следовательно, при переходе через точку первая производная меняет знак «+» на «-», т.е. функция имеет в т. максимум. Аналогично доказывается, что если , то в т. функция имеет минимум.

Пример. Найти экстремумы функции на , , , , , , , т.е. - точка максимума.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке

Рассмотрим функцию , непрерывную на отрезке . В силу непрерывности эта функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений или на границе отрезка, или внутри него. Если наибольшее (или наименьшее) значение функции достигается во внутренней точке с отрезка, то это значение является максимумом (или минимумом) функции, т.к. неравенство (или ), справедливое для всех точек , выполняется и для любой окрестности т. , лежащей внутри отрезка .

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1. Находим все критические точки функции в интервале и вычисляем в них значения функции.

2. Вычисляем значения функции на концах отрезка.

Дата добавления: 2015-07-15