Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале , если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть функция имеет вторую производную во всех точках интервала . Если во всех точках этого интервала , то график функции в этом интервале выпуклый, если же - вогнутый.

Определение. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема. (достаточный признак существования точки перегиба).

Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку , то точка является точкой перегиба графика функции.

Теорема. (необходимое условие существования точки перегиба).

Пусть функция имеет в интервале непрерывную вторую производную . Тогда, если точка является точкой перегиба графика данной функции, то .

Замечание. Абсциссы точек перегиба графика непрерывной функции следует искать среди тех точек, в которых вторая производная или равна нулю или разрывна (в частности, не существует).

Пример. , , .

Дата добавления: 2015-07-15