Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма. Пусть функция , определенная в интервале , принимает в некоторой точке этого интервала наибольшее или наименьшее значение.

Тогда если в точке существует производная, то она равна нулю.

Доказательство. Пусть для определенности -наибольшее значение функции в интервале По определению производной,

.

Т.к. в точке функция принимает наибольшее значение, то

.

Отсюда, если то и, следовательно, .

Если же то и .

Но т.к. производная не должна зависеть от знака , то .

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,в], дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах отрезка обращается в нуль, т.е. f (a) = f (в) =0, то её производная обращается в нуль, хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка.

Доказательство. Т.к. функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём своего наибольшего значения М и наименьшего значения m. Если M¹m, то функция на постоянна, и, следовательно, её производная в любой точке отрезка. Пусть , тогда одно из этих чисел отлично от нуля, например, . Поэтому, если наибольшее значение М достигается в точке С, f(С)=M, то точка С должна быть внутренней точкой отрезка , т.е.

принадлежать интервалу , т.к. на концах отрезка f(a)=f(b)=0. Следовательно, по теореме Ферма = 0.

Геометрически теорема Ролля означает, что если график непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции пересекает ось ОХ в двух точках , то найдётся хотя бы одна точка С: , для которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри этого отрезка найдётся хотя бы одна точка , что справедливо равенство:

.

Доказательство. Рассмотрим график функции .

Напишем уравнение хорды АВ как уравнение прямой, проходящей через две точки А (а; f (a)) и В (в; f (в)):

.

Отсюда .

Составим вспомогательную функцию F(x): .

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

Действительно, она непрерывна на , т.к. на нем непрерывны функции f(x) и (x-a). Производная существует в интервале (а,в), т.к. в нем существует . На концах отрезка F(a)=F(в)=0. По теореме Ролля внутри отрезке найдется такая точка Х=С, в которой :

. Отсюда .

Геометрически теорема Лагранжа означает следующее:

Как видно из рисунка, отношение представляет собой угловой коэффициент хорды АВ, соединяющие концы дуги. Т.к. есть угловой коэффициент касательной, то теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде соединяющей концы дуги.

Формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Эта формула означает, что приращение дифференцируемой функции на отрезке равно длине отрезка (т.е. приращению аргумента), умноженной на значение производной от этой функции в некоторой внутренней точке отрезка.

Теорема Коши. Если функции и j непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем j , то внутри этого отрезка найдется такая точка С, что справедливо равенство: .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

j(х)- j(а)).

Эта функция дифференцируема во всех точках интервала (а,в) и на его концах обращается в нуль: F(a)=F(в)=0.

Следовательно, по теореме Ролля, существует точка такая, что : . Отсюда . Это равенство называется формулой Коши.

Замечание 1. Из условия теоремы следует, что , т.к. в противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка , что . Но это противоречит условию теоремы, согласно которому для всех .

Замечание 2. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если положить j(х)=х.

Дата добавления: 2015-07-15