Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Для того, чтобы прямая была вертикальной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

,

Пример. , и являются вертикальными асимптотами.

Теорема. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) ; б)

При этом , или , .

Пример.

1) ;

2) ;

Асимптоты: , .

План исследования функции.

1. Область определения функции.

2. Четность (нечетность) функции.

3. Периодичность.

4. Точки пересечения с осями координат.

5. Монотонность. Экстремальные точки.

6. Выпуклость(вогнутость) функции. Точки перегиба.

7. Асимптота.

8. График функции.

Пример.

1. Область определения: .

2. Функция общего вида.

3. Функция не периодическая.

4. Имеет точку пересечения с осью Ох:

5. , - критическая точка.

	-		+

min

6.

	-		+

точка

перегиба

7. Вертикальных асимптот нет.

- горизонтальная асимптота.

8. График функции

Пример 2. .

1. Область определения: .

2. Функция общего вида.

3. Функция непериодическая.

4. - точка пересечения с осями координат.

5. , и - критические точки.

х					+
	+		-	-		+

6. , , следовательно, у графика функции точек перегиба нет.

	-	+

7. , следовательно, - вертикальная асимптота.

т.е. - наклонная асимптота.

8. График функции

У

16

Х

-4 4 8

Дата добавления: 2015-07-15