Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

Пусть в каждой точке области функция дифференцируема и

. Зафиксируем приращения и . Тогда дифференциал есть функция двух переменных. Если эта функция дифференцируема, то можно вычислить ее дифференциал , который называется дифференциалом второго порядка функции в точке . Применимы так же краткие обозначения:

, .

Формула для дифференциала второго порядка выводится с использованием свойств дифференциала. Предположим, что производные , непрерывны в точке . Тогда

.

И с учетом равенства смешанных производных получаем:

.

Пример. Найти дифференциал второго порядка функции в произвольной точке его существования и в точке .

Найдем частные производные второго порядка данной функции.

,

,

.

Теперь, применив формулу для второго дифференциала, получаем:

.

Вычислив значения частных производных в точке , будем иметь:

.

По определению

есть дифференциал - го порядка функции в точке . Для существования дифференциала в точке , например, достаточно существования в некоторой окрестности точки частных производных - го порядка и непрерывности их в точке .

Для функций двух переменных справедлива формула

.

К примеру, для с применением этой формулы получаем:

.

Дата добавления: 2015-07-15