Повторный предел функции в точке

Ранее рассмотренные пределы функции в точке называются двойными пределами. Для изучения предела функции при изменении только одной независимой переменной и фиксированном значении другой переменной вводится понятие повторного предела.

При определении повторного предела будем рассматривать в качестве окрестности предельной точки квадрат

,

предполагая, что возможно функция не определена на отрезках прямых и . При фиксированном значении переменной функция становится функцией одной переменной . Для простоты считаем, что для области определения такой функции переменной точка является предельной. Пусть для любого фиксированного значения переменной , удовлетворяющего неравенствам , существует предел функции при , вообще говоря, зависящий от :

.

Пусть существует предел функции при . В таком случае по определению в точке существует повторный предел функции . Обозначение повторного предела:

.

В этом обозначении ( - фиксированное значение и ) называется внутренним пределом.

Аналогично определяется другой повторный предел , в котором внутренним является ( - фиксированное значение и ).

Пример. Вычислить повторные пределы функции в точке .

Вычисляем сначала внутренний предел, а затем внешний:

.

Аналогично получаем, что

.

Теорема 10.6. Пусть в точке существует двойной предел:

,

а также внутренние пределы в двух повторных пределах этой функции. Тогда существуют повторные пределы и , причем каждый из них равен .

Доказательство. Ограничимся доказательством существования повторного предела , причем для внутреннего предела положим .

В силу существования двойного предела для произвольного числа найдется такое число , что верно неравенство

для всех значений переменных и , удовлетворяющих неравенствам и . Фиксируем такое значение , для которого выполняется неравенство . Перейдем в неравенстве на функцию к пределу при . Так как функция при этом стремится к пределу , то получим неравенство

.

Тогда согласно определению имеем: . Отсюда с учетом условия следует

Теорема доказана.

В последнем рассмотренном примере показано существование и равенство двух повторных пределов. Покажем, что двойного предела функции из этого примера не существует.

Рассмотрим последовательность точек , где число произвольное, а при , и соответствующую последовательность значений функции:

.

При имеем последовательность , а при - последовательность . Каждая из последовательностей сходится к точке . Пределы значений функции, соответствующие этим последовательностям, различны (они равны и ). Следовательно, двойного предела функции в точке не существует. Таким образом, вообще из существования и равенства повторных пределов не следует существования двойного предела.

Дата добавления: 2015-07-15