Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Неявные функции

Читайте также:
  1. A. ФУНКЦИИ КНОПОК БРЕЛКА
  2. II. Основные задачи и функции деятельности ЦБ РФ
  3. II. Основные задачи и функции медицинского персонала
  4. II.4. Механизм действия ингибиторов АПФ при эндотелиaльной дисфункции.
  5. III. Функции и полномочия контрактной службы
  6. IV. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ
  7. IV. ФУНКЦИИ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ КОНФЛИКТА.

 

Если некоторая функция , зависящая от переменной , принимающей значения из множества числовой оси, задана формулой , причем правая часть не содержит переменную , то по определению функция задана явно.

Если для каждого значения переменной из множества найдется единственное значение переменной - такое, что , то получаем, что уравнение определяет зависимость от или неявную функцию , определенную на множестве .

В некоторых случаях уравнение однозначно разрешимо относительно , например, . Пример противоположного смысла дает уравнение . Это уравнение неоднозначно разрешимо относительно . К примеру, функциями, неявно определенными этим уравнением, являются , , определенные на множестве . Если наложить дополнительные условия, которым должна удовлетворять неявная функция, заданная уравнением , то может случиться, что такая функция будет единственной. Например, если потребовать, чтобы неявная функция была неотрицательна и определена на отрезке . Таким условиям удовлетворяет функция .

Другим дополнительным может быть следующим. Пусть точка такова, что ее координаты удовлетворяют уравнению , то есть , и - окрестность, не пересекающаяся осью (см. рисунок 10.5). Тогда единственной неявной функцией будет та, график которой принадлежит с областью определения .

 

 

Рисунок 10.5

 

Если уравнение не разрешимо однозначно относительно , то неявную функцию приходится изучать с помощью функции двух переменных. Часто условия существования неявной функции на множестве , которому принадлежит некоторая точка , содержит требования непрерывности функции в точке , , возрастание или убывание по функции при каждом фиксированном значении .

Теорема 10.18. Пусть задано уравнение

 

,

 

причем для функции частные производные , непрерывны в некоторой окрестности точки и , . Тогда существует квадрат (см. рисунок 10.6)

 

 

и одна и только одна функция , определенная и непрерывная на множестве такая, что и для любого .

 

 

 

Рисунок 10.6

 

Таким образом, сформулированная теорема дает достаточные условия существования неявной функции, заданной уравнением и определенной в некоторой окрестности точки .

Пример. Рассмотрим уравнение

 

.

 

Положим: . , . Функции , как многочлены непрерывны в любой точке. Выбрав , , получим:

 

, .

 

Условия теоремы выполняются, следовательно, существует одна и только одна функция , непрерывная в окрестности точки , удовлетворяющая условию и заданному уравнению.

Для данного примера можно найти эту функцию, существование которой установлено, если решить данное уравнение относительно :

 

, , .

 

Получили, что . В качестве окрестности точки можно взять множество . Ясно, что и для любого .

Рассмотрим теперь вопрос о производной неявной функции.

Теорема 10.19. Пусть выполняются условия предыдущей теоремы. Тогда неявная функция , заданная уравнением , имеет производную в точке интервала , которая выражается формулой

 

.

 

Доказательство. Пусть приращение таково, что . Тогда в точке определено приращение функции , где . Отсюда . В силу утверждения предыдущей теоремы

 

, .

 

Тогда для приращения функции имеет место равенство

 

.

 

В силу условий функция дифференцируема в точке и

 

,

 

где и стремятся к нулю при и . С использованием представления приращения функции получаем равенство

 

.

 

Преобразуем это равенство:

 

,

 

,

 

.

 

Поскольку функция непрерывна в точке , то при . Следовательно, функции и стремятся к нулю при . Тогда

 

.

 

Поскольку конечный предел отношения приращений функции и аргумента существует, то неявная функция имеет производную в точке и верна формула

 

.

 

Теорема доказана.

Если функция дважды дифференцируема в (см. теорему 10.18), то и неявная функция в каждой точке интервала имеет вторую производную

 

.

 

Пример. Пусть неявная функция задана уравнением и соответствием между значением аргумента и функции:

 

, .

 

Найти значения первой и второй производных неявной функции в точке .

Пусть . Найдем частные производные.

 

, .

 

Применяя формулу для производной первого порядка, получим выражение для производной первого порядка и вычислим ее значение в указанной точке:

 

, .

 

Найдем выражение для производной второго порядка, применяя правила дифференцирования частного, сложной функции и учтя полученное выражение производной .

 

 

 

.

 

Вторым искомым значением будет

 

.

 

Рассмотрим случай неявной функции двух переменных.

Пусть функция трех переменных определена в некоторой пространственной области . Если для значений координат каждой точки области уравнение однозначно разрешимо относительно , то говорят, что в области определена неявная функция , заданная уравнением .

Вообще уравнение может и не определять никакой функции, а может определять множество функций. Например, уравнение при любых значениях не разрешимо относительно и не определяет неявной функции. Напротив, уравнение для любой точке круга не однозначно разрешимо относительно и задает, к примеру, функции , , определенные в круге .

Сформулируем достаточные условия существования и единственности неявной функции двух переменных.

Теорема 10.20. Пусть в уравнении

 

 

функция в некоторой окрестности

 

 

точки обладает непрерывными частными производными , , . Предположим также, что , . Тогда существует куб

 

 

и единственная функция , которая определена и непрерывна в квадрате (см. рисунок 10.7), и такая, что и для любой точки .

 

 

 

Рисунок 10.7

В условиях этой теоремы неявная функция , определенная уравнением , имеет в каждой точке частные производные первого порядка, которые можно вычислить по формулам

 

, .

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 242 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Предварительные определения | Последовательности точек. Предел последовательности | Понятие функции нескольких переменных | Предел функции в точке | Повторный предел функции в точке | Примеры. | Непрерывность функции нескольких переменных в области | Частные производные функции нескольких переменных | Дифференцируемые функции. Дифференциал | Производные сложной функции |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных| Касательная плоскость и нормаль к поверхности

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.026 сек.)