Понятие функции нескольких переменных

Пусть - произвольное множество точек пространства . Если каждой точке множества поставлено в соответствие некоторое число из множества действительных чисел (см. рисунок 10.1), то говорят, что на множестве определена функция. Пусть числовые переменные и принимают соответственно значения первой и второй координат точек множества , числовая переменная - значения, равные числам, которые ставятся в соответствие точкам множества . Функцию, определенную выше, записывают в виде или и называют функцией двух независимых переменных и или аргументов и . Переменная называется зависимой переменной или функцией. Множество называется областью определения функции , а совокупность всех значений зависимой переменной - областью значений.

Рисунок 10.1

Множеством обычно является открытая или замкнутая область.

Геометрическим изображением функции может служить поверхность в пространстве c прямоугольной декартовой системой координат .

Приведем примеры функций и их геометрические изображения.

Пример. 1) Пусть , . Для данной функции выражение определяет правило, по которому точка сопоставляется числу . Областью значений функции является множество , поверхность - параболоид (см. рисунок 10.2).

Рисунок 10.2

Пример. 2) . Область не задана. Областью определения функции является область определения выражения . Она задается неравенством или неравенством . Последнее неравенство определяет замкнутый круг в координатной плоскости . Область значений функции есть отрезок . Поверхность - верхняя половина сферы (см. рисунок 10.3).

1

1

Рисунок 10.3

Функция по определению является элементарной функцией, если выражение предписывает выполнение конечного числа только арифметических действий над значениями переменных , и константами, а также конечного числа операций, определяемых элементарными функциями одной переменной.

Примеры. 1) , - целые функции или многочлены от двух переменных соответственно 4-ой и 5-ой степени.

2) - дробно рациональная функция.

3) - иррациональная функция.

4) - трансцендентная функция.

Дата добавления: 2015-07-15