Предварительные определения

Функции нескольких переменных

Предварительные определения

Все определения и утверждения, как правило, будем приводить для функций двух переменных. Если нет особых оговорок, то определения и утверждения легко переносятся на случай функций большего числа переменных.

Пусть есть арифметическое 2-мерное векторное пространство (см. раздел 4), . Компоненты вектора этого пространства можно понимать как координаты точки плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат . Наоборот, каждой точке однозначно соответствует элемент пространства . Тогда подмножество множества можно изобразить некоторой совокупностью точек плоскости , а элементы обозначать так же как и точки плоскости . Говоря о подмножестве множества , всегда будем представлять это подмножество как множество точек плоскости .

Расстояние между элементами и пространства или точками , плоскости точками есть величина

.

Для трех точек , и получаем

,

где , .

С использованием известного неравенства Коши – Буняковского для действительных чисел ,

при , получаем:

.

Полученное неравенство

называется неравенством треугольника.

Множества точек

или

,

где , называются соответственно открытым кругом радиуса с центром в точке и открытым квадратом со сторонами и с центром . Эти множества часто используются в рассуждениях и носят специальные названия - -окрестность точки . Часто вместо обозначения будем использовать обозначение .

Некоторая точка по определению есть внутренняя точка множества , если множество полностью содержит некоторую окрестность точки . Если каждая точка множества является внутренней, то называется открытой областью или, короче, областью.

Область называется связной, если любые ее две точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в области .

Точка , не принадлежащая области , называется граничной для области , если каждая окрестность точки содержит точки, принадлежащие . Множество всех граничных точек области называется границей этой области. Например, границами многоугольника, круга являются соответственно многоугольник, окружность.

Множество, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.

Если область, то граница ее обозначается символом . Тогда есть замкнутая область.

Пусть есть некоторое множество точек на плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат . Множество называется ограниченным, если некоторый замкнутый круг , где - фиксированная точка, целиком содержит множество .

Дата добавления: 2015-07-15