Тригонометрическая функция

Бесконечно удалённая точка.

Расширенная плоскость комплексного переменного

достаточно близким к N точкам z сферы соответствуют точки комплексной плоскости, сколь угодно далеко отстоящие от начала координат. Введём в рассмотрение число z = ∞, называемое бесконечно удалённой точкой, и будем считать его изображением точку N на сфере. Комплексную плоскость, дополненную числом z = ∞, называют расширенной плоскостью комплексного переменного. Сферу, точки которой изображают совокупность всех комплексных чисел и бесконечности, называют комплексной числовой сферой или сферой Римана.

Основные элементарные функции комплексного переменного

Показательная функция

w=e ^z=e ^x(cos y+i sin y)

где e ^z1∙e ^z2 = e ^z1+z2

Логарифмическая функция

w=Ln z=u+iv

Степенная функция

w=z ⁿ=r ⁿ (cos nφ+i sin φn)

Тригонометрическая функция

Из определения тригонометрических функций вытекает, что cos z – чётная функция, а sin z – нечётная функция, так как

Из определения же следует, чтоc o s z и s i n z обладают периодом , так как при изменении z на аргументы показательных функций в правых частях формул изменяются на ± – величины периодов показательной функции, а значит значение функций не изменится.

Можно показать, что все известные из тригонометрии соотношения для тригонометрических функций действительного аргумента сохраняются и в комплексной области. Однако свойство ограниченности функций уже не имеет место.

Дата добавления: 2015-07-15