Производные сложной функции

Теорема 10.17. Пусть функция дифференцируема в точке , функции и - в точке , причем , . Тогда сложная функция дифференцируема в точке и имеют место равенства

,

.

Доказательство. Рассмотрим приращение сложной функции в точке .

.

Преобразуем приращение с помощью равенств

, ,

которые запишем в виде , . Тогда

.

В силу дифференцируемости функции в точке имеем представление

,

где функции , стремятся к нулю при и . Поскольку функции и непрерывны в точке , то при и верно и . Тогда , стремятся к нулю и при и .

В силу дифференцируемости функций и в точке справедливы представления

,

с функциями , стремящимися к нулю при и . Тогда

.

В полученном представлении приращения величины и стремятся к нулю при и . Поэтому сложная функция является дифференцируемой в точке по определению.

При приращения , , можно понизать как частные приращения по переменной . Поэтому имеем равенство

.

Поделим это равенство на и найдем предел правой части полученного равенства при :

.

Предел правой части существует. Тогда существует предел левой части и

.

Аналогично устанавливается вторая формула утверждения теоремы.

Теорема доказана.

Рассмотрим частные случаи сложной функции.

1) Пусть , и в некоторой области изменения переменных и определена сложная функция . Функция дифференцируема в точке , а функция - в точке . Тогда справедливы формулы

, .

2) Пусть , , и в некоторой области изменения переменных и определена сложная функция . Функции и дифференцируемы соответственно в точках и , а функция - в точке , где , . Тогда

, .

3) Пусть , , и в некотором промежутке изменения переменной определена сложная функция . Функции и дифференцируемы в точке , а функция - в точке , где , . Тогда производная сложной функции может быть вычислена по формуле

.

Пример. Применим последнюю формулу для нахождения производной функции, имеющей сложное выражение:

.

Можно записать, что , если положить: , . Имеем:

, , ,

.

Теперь применим формулу третьего частного случая:

.

Дата добавления: 2015-07-15