Частные производные функции нескольких переменных

Пусть точка является внутренней для области , в которой определена функция . По определению величина есть приращение функции в точке по переменной . Величину рассматриваем как функции переменной . Для краткости эту величину будем обозначать символами , или .

Если существует предел

,

то он называется частной производной функции по переменной в точке .

Для такой частной производной также применяются обозначения

, , , и , .

Отметим, что частная производная есть обычная производная функции , если понимать эту функцию как функцию одной переменной при фиксированных значениях переменной .

Совершенно аналогично определяется частная производная функции по переменной . Приведем основное. Частная производная по переменной есть предел

,

где есть приращение функции в точке по переменной . Обозначения:

, , , и , .

Производная есть обычная производная по переменной , если функцию понимать как функцию только переменной .

Производные и называются частными производными первого порядка функции в точке .

Выясним геометрический смысл частных производных первого порядка.

Пусть существует производная , а , , - уравнение поверхности (см. рисунок 10.4).

Рисунок 10.4

Пусть кривая является сечением поверхности плоскостью . В этой плоскости в точке , где , проведем касательную прямую. Тогда для угла наклона касательной к оси имеем . В этом и состоит геометрический смысл частной производной .

Определим теперь частные производные функции порядков выше первого.

Если функция в каждой точке области имеет производные , , то их можно рассматривать как новые функции и вычислять их частные производные. Такие производные называются частными производными функции второго порядка в точке . Приведем это определение для всех частных производных второго порядка.

, ,

, .

Производные и называются смешанными производными второго порядка функции в точке .

Приведем и другие обозначения частных производных второго порядка:

, , , .

Вообще, частной производной - го порядка функции в точке называется производная по какой-нибудь переменной от некоторой производной - го порядка. Частная производная порядка , взятая по различным переменным, называется смешанной производной порядка . Например, если есть производная второго полрядка, то или есть частная производная третьего порядка. Выражение , , означает частную производную, которая получается дифференцированием раз по переменной , потом раз по переменной , наконец, раз по переменной .

Пример. Вычислить значение смешанной производной третьего порядка в точке , если .

Сначала найдем производную в произвольной точке.

,

,

.

Теперь вычислим значение производной в заданной точке.

.

При достаточно общих условиях результат дифференцирования по различным переменным не зависит от выбора порядка переменных, по которым происходит дифференцирование.

Теорема 10.13. Если функция определена вместе со своими частными производными , , и в некоторой окрестности точки и производные и непрерывны в этой точке, то

.

Доказательство. Рассмотрим приращение функции по переменной .

.

Переставим местами средние слагаемые:

.

Получили равенство повторных приращений

.

Введем новую функцию . Тогда

.

Применим формулу конечных приращений Лагранжа

, .

Поскольку , то, применив формулу конечных приращений Лагранжа к функции , получим:

, .

Аналогично,

, , .

В силу равенства повторных приращений и имеем:

.

Отсюда при и

.

Перейдя к пределу при , в последнем равенстве, в силу непрерывности смешанных производных в точке получим:

.

Теорема доказана.

Эта теорема распостраняется на любые непрерывные смешанные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Приведем пример.

.

Дата добавления: 2015-07-15