Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть , , - уравнение поверхности (см. рисунок 10.8). Кривые , являются сечениями поверхности соответственно плоскостями , . В этих плоскостях в точке , , к каждой кривой сечений проведем касательные прямые. Пусть прямая является перпендикулярной касательным и проходит через точку . Все прямые, проходящие через точку перпендикулярно прямой , образуют плоскость , которая по определению есть касательная плоскость к поверхности в точке . Прямая называется нормальной прямой, или нормалью, к поверхности в точке .

Рисунок 10.8

Получим уравнение касательной плоскости.

Пусть функция дифференцируема в точке . На кривых и имеем точки , . Пусть - произвольная точка плоскости , которой принадлежит треугольник .

Векторы , , расположены в плоскости . Запишем необходимое и достаточное условие компланарности этих векторов:

.

Раскрыв определитель, получим равенство

,

которое после преобразований запишем в виде

.

Если точки , вдоль соответствующих кривых устремить к точке , что равносильно и , и вследствие этого , , то плоскость совместиться с касательной плоскостью . Тогда уравнение касательной плоскости получит вид:

.

Отметим, что являются координатами точек касательной плоскости.

Если это уравнение записать в виде

,

то можно найти координаты вектора ортогонального касательной плоскости: . Примем вектор за направляющий вектор нормальной прямой , проходящей через точку , и запишем канонические уравнения прямой :

.

Пусть уравнение поверхности задано уравнением с функцией , имеющей непрерывные частные производные в окрестности точки и значение . Тогда в силу теоремы 10.20 в окрестности точки уравнение поверхности можно выразить функцией . Этим самым обосновано существование касательной плоскости в точке . Применив формулы для частных производных функции , найдем их значения:

, .

Исключим и из уравнения касательной плоскости и после преобразований получим:

.

Последнее уравнение называют уравнением касательной плоскости в точке к поверхности , заданной неявным уравнением .

Аналогично получаем канонические уравнения нормальной прямой , проходящей через точку поверхности с неявным уравнением . Эти уравнения имеют вид:

.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к эллипсоиду

в точке .

Поверхность задана неявным уравнением. Положим и вычислим значения частных производных функции в точке .

, , .

Составим уравнение касательной плоскости и преобразуем полученное уравнение к общему виду:

, .

Найдем канонические уравнения нормальной прямой. Координаты направляющего вектора выберем из уравнения касательной плоскости.

.

Для существования касательной плоскости в точке к поверхности, которая задана неявным уравнением , достаточно отличия от нуля хотя бы одной частной производной функции в точке .

Дата добавления: 2015-07-15