III. Расстояние между точкой и плоскостью

II. Угол между плоскостями

Здесь векторы, перпендикулярные соответствующим плоскостям.

Тогда (10)

III. Расстояние между точкой и плоскостью

Напоминаю, что формула, позволяющая найти расстояние от точки, заданной своими координатами М(x₀;y₀;z₀) в определенной системе отсчета до плоскости, заданной в этой же системе уравнением ax + by + cz + d = 0 имеет вид:

(11)

Примеры задач:

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6. На ребре CC₁ отметили точку М так, что CM: MC₁ =2: 1; точка K лежит на середине DC. Через точки В₁, М и К проведено сечение. Найти расстояние от точки В до плоскости этого сечения и найти угол между прямой AC₁ и плоскостью сечения.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. (Понятно, что можно ввести систему координат иначе, но на результат решения задачи он не скажется)

Для решения задачи, нам нужно знать координаты точек A, B1, M, K и C₁. Используя тот факт, что длины ребер куба равны 6 и отрезок СМ составляет 2/3 длины ребра СС1, то СМ = 4. Поэтому координаты вышеперечисленных точек записываются следующим образом:

A(6; 0; 0), B₁(0; 0; 6), M(0; 6; 4), K(3; 6; 0), C₁(0; 6; 6),

Пишем уравнение плоскости B₁MK.

Для этого возьмем произвольную точку Р плоскости с координатами (x; y; z) и запишем условие компланарности векторов B₁P, B₁M и B₁K: B₁P = a B ₁M + b B ₁K

B₁P{x; y; z – 6}, B₁M{0; 6; – 2}, B₁K{3; 6; – 6}

Тогда:

Итак, расстояние от точки В до плоскости B₁MK рассчитываем по формуле (11)

Для определения угла между прямой АС₁ и плоскостью B₁MK запишем координаты вектора AC₁{ –6;6;6} – направляющего вектора прямой АС₁ и определим угол, по формуле (9)

- вектор, перпендикулярный плоскости

---

Дата добавления: 2015-07-15