Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Производная по направлению. Градиент

Читайте также:
  1. Билет 14. вопрос 1. Методы многомерной оптимизации: покоординатного спуска и градиентный.
  2. Градиент
  3. Линейный градиент Радиальный градиент Конусовидный градиент Зеркальный градиент Ромбовидный градиент
  4. Объём лёгких уменьшается,внутрилегочное давление увеличивается, становитсябольше атмосферного и по градиенту давленийвоздух выходит из лёгких.
  5. Производная по направлению
  6. Производная сложной функции. Полная производная

 

Рассмотрим характеристики функций нескольких переменных.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (см. рисунок 10.9) и дифференцируема в этой точке. Обозначим через луч с началом в точке , который ориентирован вектором , - единичный вектор. Запишем параметрические уравнения луча :

 

 

 

 

Рисунок 10.9

 

Точка принадлежит лучу . Длина отрезка луча равна

 

.

 

Функцию , принимающую значения в точках луча, можно определить как функцию одного аргумента . Производная этой функции в точке называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается символами

 

, .

По определению имеем:

 

.

 

Поскольку

 

,

 

то

 

 

и представляет собой скорость изменения функции в точке по направлению вектора .

Формулу для вычисления производной по направлению получим с применением формулы теоремы о производных сложной функции (третий частный случай).

 

 

.

 

Таким образом,

 

.

 

По определению градиентом функции в точке является вектор

 

.

 

С применением формулы для производной по направлению и скалярного произведения выясним смысл градиента (необходимые обозначения приведены на рисунке 10.10).

 

 

.

 

 

 

Рисунок 10.10

 

При значение будет наибольшим и равным 1. При этом производная по направлению принимает наибольшее значение . Следовательно, вектор определяет направление наибольшего роста функции в точке , а есть скорость наибольшего роста.

В случае функции трех переменных, определенной в окрестности точки (см. рисунок 10.11) и дифференцируемой в этой точке, производной в точке по направлению вектора с направляющими косинусами является величина

 

.

 

Для вычисления производной применяется формула

 

.

 

По определению вектор

 

 

есть градиент функции в точке . В случае имеет место формула

 

.

 

 

Рисунок 10.11

 

Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора , , и градиент в точке .

Полагая , вычислим значения частных производных заданной функции в точке .

 

.

 

Найдем направляющие косинусы вектора .

 

, , .

 

Тогда с применением формулы для производной по направлению получаем

 

.

 

Искомым градиентом будет вектор .

С использование правил дифференцирования, формул для производной сложной функции устанавливаются следующие свойства градиента. Предполагаем, что функции и дифференцируемы в точке .

 

а) ;

 

б) ;

 

в) , если ;

 

г) для сложной функции имеет место формула

 

,

 

где .

 

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 76 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие функции нескольких переменных | Предел функции в точке | Повторный предел функции в точке | Примеры. | Непрерывность функции нескольких переменных в области | Частные производные функции нескольких переменных | Дифференцируемые функции. Дифференциал | Производные сложной функции | Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных | Неявные функции |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Касательная плоскость и нормаль к поверхности| ВВЕДЕНИЕ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.014 сек.)