Читайте также:
|
|
Пусть - функция двух переменных
и
, каждая из которых является функцией независимой переменной
, т.е.
. В этом случае функция
является сложной функцией одной независимой переменной
, а переменные
и
будут промежуточными переменными.
Теорема 2.2. Если - функция, дифференцируемая в точке
, и
- дифференцируемые функции независимой переменной
, то производная сложной функции
вычисляется по формуле:
. (2.9)
Доказательство. Дадим независимой переменной приращение
. Тогда функции
получат приращения
и
соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение
функции
.
Так как по условию функция дифференцируема в точке
, то ее полное приращение можно представить в виде
,
где и
при
. Разделим выражение
на
и перейдем к пределу при
. Тогда
и
в силу непрерывности функций
(по условию они дифференцируемые). Получаем:
.
Далее
,
или
.,
Частный случай: , где
, т.е.
- сложная функция одной независимой переменной
. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной
играет
. Согласно формуле (2.9) имеем:
,
или
. (2.10)
Формула (2.10) называется формулой полной производной.
Общий случай: , где
. Тогда
- сложная функция независимых переменных
и
. Ее частные производные
и
можно найти по следующим формулам:
и
. (2.11)
Пример 2.7. Найти , если
.
Решение. Используя формулу (2.11), найдем :
,
Надо отметить, что формулы (2.11) можно обобщить для случая большего числа переменных.
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, является ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 99 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Дифференцируемость и полный дифференциал функции | | | Касательная плоскость и нормаль к поверхности |