Частные производные ФНП

Рассмотрим линию пересечения поверхности с плоскостью , параллельной плоскости . Так как в этой плоскости сохраняет постоянное значение, то вдоль кривой будет меняться только в зависимости от изменения . Дадим независимой переменной приращение , тогда получит приращение, которое называется частным приращением по и обозначают через (на рисунке отрезок ), так что

.

Аналогично, если сохраняет постоянное значение, а получает приращение

параллельной плоскости .

Наконец, придав аргументу приращение , а аргументу приращение , получим для новое приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой

.

На рисунке изображено отрезком .

Надо отметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .

Определение 2.1. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда

. (2.1)

Определение 2.2. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда

. (2.2)

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно или считаются постоянной величиной).

Геометрический смысл частных производных: частная производная численно равна тангенсу угла наклона a касательной к сечению поверхности плоскостью ;

частная производная численно равна тангенсу угла наклона b касательной к сечению поверхности плоскостью .

Пример 2.1. Для данной функции требуется найти частные производные и . Найти значения частных производных в точке :

.

Решение. Находим частные производные в общем виде:

, .

Находим значения частных производных в точке :

, .

,

Пример 2.2. Найти частные производные , , , для следующей функции:

.

Дата добавления: 2015-07-15