Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Градиент

Читайте также:
  1. Билет 14. вопрос 1. Методы многомерной оптимизации: покоординатного спуска и градиентный.
  2. Линейный градиент Радиальный градиент Конусовидный градиент Зеркальный градиент Ромбовидный градиент
  3. Объём лёгких уменьшается,внутрилегочное давление увеличивается, становитсябольше атмосферного и по градиенту давленийвоздух выходит из лёгких.
  4. Производная по направлению. Градиент
  5. Электрохимический градиент

 

В каждой точке области , в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).

Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

. (4.3)

 

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .

Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.

,

где j - угол между и направлением .

 

Установим некоторые свойства градиента.

Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , т.е. при .

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .

Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать. - наибольшая скорость изменения функции в точке .

 

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

 

3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.

 

Пример 4.2. Дана функция . Найти:

1) производную в точке по направлению вектора ;

2) производную в точке по направлению к точке ;

3) градиент функции в точке ;

4) наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. 1) Находим частные производные и значения частных производных в точке :

;

 

;

 

.

Находим направляющие косинусы вектора :

.

Тогда по формуле (4.1) получаем:

.

Так как , то в данном направлении функция возрастает.

 

2) Находим координаты и направляющие косинусы вектора :

;

.

Тогда по формуле (19.16) получаем:

.

Так как , то в данном направлении функция убывает.

 

3) Используя формулу (4.3) запишем градиент функции в точке :

.

 

4) Находим наибольшую скорость возрастания функции в точке :

.

,

 

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 116 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Предел и непрерывность функции двух переменных | Частные производные ФНП | Частные производные высших порядков | Дифференцируемость и полный дифференциал функции | Производная сложной функции. Полная производная | Касательная плоскость и нормаль к поверхности | Экстремум функции двух переменных | Теорема 3.2 (необходимое условие экстремума). | В замкнутой области | Скалярное поле |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Производная по направлению| Классификация задач, решаемых с помощью МАИ

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.022 сек.)