Градиент

В каждой точке области , в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).

Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

. (4.3)

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .

Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.

,

где j - угол между и направлением .

Установим некоторые свойства градиента.

Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , т.е. при .

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .

Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать. - наибольшая скорость изменения функции в точке .

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.

Пример 4.2. Дана функция . Найти:

1) производную в точке по направлению вектора ;

2) производную в точке по направлению к точке ;

3) градиент функции в точке ;

4) наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. 1) Находим частные производные и значения частных производных в точке :

;

;

.

Находим направляющие косинусы вектора :

.

Тогда по формуле (4.1) получаем:

.

Так как , то в данном направлении функция возрастает.

2) Находим координаты и направляющие косинусы вектора :

;

.

Тогда по формуле (19.16) получаем:

.

Так как , то в данном направлении функция убывает.

3) Используя формулу (4.3) запишем градиент функции в точке :

.

4) Находим наибольшую скорость возрастания функции в точке :

.

,

Дата добавления: 2015-07-15