Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема 3.2 (необходимое условие экстремума).

Читайте также:
  1. S231 П Сингл (Магнитное поле движущегося заряда, теорема о циркуляции)
  2. Блок цикла с предусловием
  3. в). Симметрично выполнить и в другую сторону, что с условием пораженных мышц может оказаться тоже не просто.
  4. Второе условие - соответствие (характеров действующим лицам). Так, характер Аталанты мужественный, но женщине не подобает быть мужественной или страшной.
  5. Гармонический анализ периодических процессов. Теорема Фурье. Гармонический спектр сигнала.
  6. Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы ».
  7. Законы Ома в интегральной и дифференциальной форме. Понятие ЭДС, условие поддержания постоянного тока.

Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует.

Доказательство. Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, . Тогда получим функцию , которая является функцией одной переменной. Эта функция имеет экстремум (максимум или минимум) при . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной, , т.е. или не существует.

Аналогично можно показать, что или не существует.

,

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.

Например, функция имеет частные производные , которые обращаются в нуль при . Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом.

Например, функция имеет экстремум в точке , но не имеет в этой точке частных производных.

 

Геометрический смысл: равенства означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию , параллельная плоскости Oxy, т.к. уравнение касательной плоскости есть .

 

Определение 3.6. Точки, в которых хотя бы одна частная производная равна нулю или не существует, то такие точки называются критическими точками.

Если речь идет о точках, в которых частные производные первого порядка равны нулю, то такие точки называются стационарными точками.

 

Для исследования функции в критических точках сформулируем достаточное условие экстремума функции двух переменных. Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 3.3 (достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку . Вычислим в точке значения . Обозначим

.

Тогда:

1. если , то функция имеет экстремум в точке :

§ максимум, если ;

§ минимум, если ;

2. если , то функция не имеет экстремума в точке ;

3. если , то экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

 

Пример 3.2. Найти экстремум функции .

Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:

.

Чтобы найти стационарные (критические) точки, составляем и решаем систему уравнений:

Û или .

Таким образом, получаем две стационарные точки и .

 

2) Находим частные производные второго порядка:

.

 

3) Исследуем характер каждой стационарной точки.

а) В точке имеем

Тогда

.

Так как , то в точке функция имеет локальный максимум.

.

 

б) В точке имеем

.

Тогда . Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке равно нулю, т.е. . Можно заметить, что при ; при . Значит, в окрестности точки функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке функция экстремума не имеет.

,

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 100 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции двух переменных | Предел и непрерывность функции двух переменных | Частные производные ФНП | Частные производные высших порядков | Дифференцируемость и полный дифференциал функции | Производная сложной функции. Полная производная | Касательная плоскость и нормаль к поверхности | Скалярное поле | Производная по направлению | Градиент |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Экстремум функции двух переменных| В замкнутой области

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)