Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Читайте также:
  1. BG: Как выдумаете, после всего, что Керриган совершила и перенесла, с таким бременем на плечах, есть ли у неё хотя бы крошечный шанс на нормальную человеческую жизнь?
  2. III. Расстояние между точкой и плоскостью
  3. Административные правонарушения, посягающие на нормальную деятельность таможенных органов.
  4. Базирование по наружной цилиндрической поверхности в призму
  5. В три-четыре раза выше их нормального ритма
  6. Воздушные пузыри, появившиеся на поверхности мастичного покрытия, сразу сбивают факелом струи, направленной под углом
  7. Выбор и обоснование материала корпуса, минимальной толщины, нормальная шпация

 

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида .

Так как через точку проходит бесчисленное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку будет, вообще говоря, бесчисленное множество.

 

Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности .

Если в точке все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка называется особой точкой поверхности. Если в точке все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка называется обыкновенной точкой поверхности.

 

Теперь сформулируем теорему, которую примем без доказательства.

Теорема 3.1. Все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.

Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой. Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность).

 

Если уравнение поверхности задано в неявном виде и , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

. (3.1)

 

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности имеет вид:

. (3.2)

 

Определение 3.3. Прямая, проведенная через точку поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

 

Если уравнение поверхности задано в неявном виде , то каноническое уравнение нормали в точке имеет вид:

. (3.3)

 

Если поверхность задана уравнением , то каноническое уравнение нормали в точке имеет вид:

. (3.4)

 

Пример 3.1. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

Решение. Вычисляем значения частных производных в точке :

,

,

.

Подставляя их в уравнения (3.1) и (3.3), получаем соответственно уравнение касательной плоскости

,

и каноническое уравнение нормали

.

,

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 150 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции двух переменных | Предел и непрерывность функции двух переменных | Частные производные ФНП | Частные производные высших порядков | Дифференцируемость и полный дифференциал функции | Теорема 3.2 (необходимое условие экстремума). | В замкнутой области | Скалярное поле | Производная по направлению | Градиент |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Производная сложной функции. Полная производная| Экстремум функции двух переменных

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)