Активная, реактивная, комплексная и полная мощности трехфазной симметричной системы

Активной мощностью (часто просто мощностью) трехфазной системы называется сумма активных мощностей всех фаз источника энергии, равная сумме активных мощностей всех фаз приемника.

В симметричной трехфазной системе, т. е. в системе с симметричными генератором и приемником, при любой схеме их соединений для каждой фазы мощности источника энергии и приемника одинаковые. В этом случае Р = 3Р_ф и для каждой из фаз справедлива формула активной мощности синусоидального тока:

■ Р_ф = U_ф I_ф cos φ

где φ — угол сдвига фаз между фазными напряжением и током.

Заменив действующие значения фазных тока и напряжения линейными при соединении фаз источника энергии и приемника звездой и треугольником, получим одно и то же выражение для активной мощности симметричной трехфазной системы:

Р = 3 U_ф I_ф cos φ = √ 3 U_л I _лсоs φ *

В промышленных установках приемники обычно симметричные или почти симметричные, т.е. мощность может быть вычислена по *.

В общем случае реактивной мощностью трехфазной системы называется сумма реактивных мощностей всех фаз источника энергии, равная сумме реактивных мощностей всех фаз приемника. Реактивная мощность симметричной трехфазной системы

Q = 3 Q _Ф = 3 U_ф I_ф sin φ,

или после замены действующих значений фазных тока и напряжения линейными

Q = √ 3 U_л I _л sin φ.

Комплексной мощностью трехфазной системы называется сумма комплексных мощностей всех фаз источника энергии, равная сумме комплексных мощностей всех фаз приемника.

Полная мощность симметричной трехфазной системы

S = √ 3 U_л I _л

Сравнение условий работы приемника при соединениях его фаз треугольником и звездой

Схема соединения трех фаз приемника не зависит от схемы соединения трех фаз генератора. Соединение фаз приемника треугольником часто переключается на соединение звездой для изменения тока и мощности, например для уменьшения пусковых токов трехфазных двигателей, изменения температуры трехфазных электрических печей и т.д.

Рассмотрим, как изменяются действующие значения токов симметричного приемника с полным фазным сопротивлением £_ф при переключении фаз со звезды на треугольник, например, простым трехполюсным переключателем (рис. 3.10).

При соединении фаз приемника звездой между действующими значениями фазных и линейных токов и напряжений справедливы соотношения

I_фҮ = U_фҮ / Z_ф = I_лҮ; U_фҮ = U_л / √ 3

из которых следует, что

I_лҮ = U_л / √ 3 Z_ф

При соединении фаз приемника треугольником между действующими значениями фазных и линейных токов и напряжений справедливы соотношения

I_ф∆ = U _ф∆ / Z _ф = I_л∆ / √ 3; U _ф∆ = U_л

из которых следует, что

I_л∆ = √ 3 U_л / Z _ф

Сопоставив выражения для действующих значений линейных токов при соединении фаз приемника звездой и треугольником, получим при одном и том же действующем значении линейного напряжения U_л и одинаковых полных фазных сопротивлениях Z_ф

I_л∆ = 3 I_лҮ

а для действующих значений фазных токов

I_ф∆ = √ 3 I_фҮ

Активная мощность трехфазного симметричного приемника при любой из схем соединения равна

Р = √ 3 U_л I_л cos φ

Вследствие уменьшения действующего значения линейного тока при переключении фаз приемника с треугольника на звезду мощность уменьшается в 3 раза, т. е.

Р_∆ = 3 Р_Y

Измерение активной мощности трехфазной системы

У симметричного трехфазного приемника мощности всех фаз одинаковы, поэтому достаточно измерить активную мощность Р_ф одной фазы. Активная мощность приемника Р = 3 Р_ф.

Очень просто измеряется мощность одной фазы Р_ф, если фазы приемника соединены звездой с доступной нейтральной точкой. На рис. 3.11, а показано включение ваттметра, который измеряет мощность фазы А приемника. Подобное включение ваттметра позволяет измерить мощность одной фазы, если фазы приемника соединены треугольником (рис. 3.11, б).

Если фазы симметричного приемника недоступны, то необходима искусственная нейтральная точка. Это — нейтральная точка цепи с фазами, соединенными звездой, состоящей из цепи напряжения ваттметра с сопротивлением R и двух резисторов с сопротивлениями R_B = R_C = R (рис. 3.12). При таком соединении цепь напряжения ваттметра находится под фазным напряжением, ток в его цепи тока равен фазному (линейному) току приемника, соединенного по

схеме звезды (треугольника). Следовательно, в обоих случаях ваттметр измеряет третью часть мощности приемника. Обычно завод-изготовитель выпускает такой ваттметр с искусственной нейтральной точкой для измерения мощности в симметричных трехфазных системах.

В трехфазных трехпроводных системах мощность при несимметричном приемнике в большинстве случаев измеряют методом двух ваттметров (рис. 3.13). Своеобразная особенность этого метода измерения заключается в том, что даже при симметричном приемнике показания двух ваттметров в большинстве случаев не одинаковые, причем показание одного из них может быть и отрицательным. В этом случае мощность трехфазной системы равна алгебраической сумме показаний двух ваттметров.

Для доказательства справедливости измерения мощности методом двух ваттметров сначала выразим мгновенную мощность системы через мгновенные значения напряжений и токов. Мгновенная мощность любой фазы равна произведению мгновенных значений фазных напряжения и тока, а мгновенная мощность трехфазной системы равна сумме мгновенных мощностей фаз. В частности, при соединении фаз приемника звездой мгновенная мощность

p = u_A i_A + u_B i_B + u_C i_C

Но при соединении фаз приемника звездой без нейтрального провода

i_А + i_B + i_C = 0

и, следовательно

i_C = -(i_А + i_B)

Подставив значение i_C в выражение мгновенной мощности, получим

р = (и_А – и_C)i_А + (и_B – u_C)i_B.

Так как разность фазных напряжений равна соответствующему линейному напряжению, т.е.

u_A - u_C = u_AC, u_B - и_С = и_ВC

то мгновенная мощность

p = u_ACi_A + u_BCi_B.

Следовательно, мгновенная мощность трехфазной системы равна сумме двух произведений мгновенных значений линейных напряжений и токов. Сумма средних значений этих двух произведений, т. е. активная мощность системы, может быть измерена двумя ваттметрами (рис. 3.13, а):

Р = Р₁ + Р₂ = U_CA I_A cos(ψ_u - ψ_i) + U_BC I_B cos (ψ_u - ψ_i)

где ψ_u - ψ_i — угол сдвига фаз между соответствующими линейным напряжением и током.

При правильном включении ваттметров положительные направления линейных напряжений и токов должны совпадать с направлением от «начала» к «концу» цепи напряжения и цепи тока ваттметров. Так, у первого ваттметра нужно соединить «начало» (вывод, отмеченный звездочкой) цепи напряжения с проводом А, а «конец» этой цепи — с проводом С.

Распределение измеряемой мощности трехфазной системы между показаниями двух ваттметров зависит главным образом от углов сдвига фаз между линейными напряжениями и токами. Проследим эту зависимость в случае симметричного приемника. На рис. 3.13,6 построена векторная диаграмма напряжений и токов в случае симметричного приемника, фазы которого соединены звездой. Углы сдвига фаз между соответствующими фазными напряжением и

током одинаковые и равны аргументу φ комплексного сопротивления фазы приемника. Из диаграммы следует, что при симметричном приемнике углы сдвига фаз между векторами Ů_AC и İа, Ů_BC и İ_B соответственно равны φ - 30° и φ + 30°.

Действующие значения линейных напряжений и линейных токов при симметричном приемнике соответственно одинаковые, т.е. U_BC = U_AC = U_Л; I_A = I_B = I_Л.

Таким образом, сумма показаний двух ваттметров, равная мощности симметричной трехфазной системы,

Р = Р₁ + Р₂ = U_Л I_Л cos(φ - 30) + U_Л I_Л cos (φ + 30)

Из этого выражения следует, что при симметричном приемнике показания ваттметров Р₁ и Р₂ будут равны только при φ = 0. Если φ > 60°, то показание второго ваттметра Р₂ будет отрицательным, т. е. сумма показаний алгебраическая.

Можно не доказывать возможность измерения мощности методом двух ваттметров при соединении фаз приемника треугольником, так как при заданных значениях линейных напряжений и токов мощность не зависит от схемы соединения фаз приемника.

Для измерения мощности в трехфазных системах с нейтральным проводом простейшим является метод трех ваттметров (рис. 3.14). При таком соединении каждый из ваттметров измеряет мощность одной фазы приемника (или генератора). Активная мощность трехфазной системы равна сумме показаний трех ваттметров:

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃.

Ваттметры трехфазного тока, устанавливаемые на распределительных щитах, представляют собой два (для трехпроводной системы) или три (для четырехпроводной системы) измерительных механизма, связанных общей осью и воздействующих на общую стрелку. Эти измерительные механизмы включаются в трехфазную цепь соответственно методами измерения с помощью двух или трех ваттметров.

Симметричная трехфазная цепь с несколькими приемниками

Во многих случаях трехфазная цепь — симметричная (или близка к симметричной), но содержит несколько приемников, например, несколько трехфазных двигателей, и требуется учесть сопротивления проводов.

Для расчета режима такой трехфазной цепи приемники следует заменить одним эквивалентным, фазы которого соединены звездой. После определения линейного тока и фазного напряжения эквивалентного приемника можно найти фазные токи всех приемников.

В качестве примера рассмотрим трехфазную симметричную цепь (рис. 3.15, а) с двумя симметричными приемниками, фазы которых с комплексными сопротивлениями Z _ф1 и Z _ф2 соединены треугольником. Приемники подключены к линии передачи с комплексными сопротивлениями проводов Z _Л и известным линейным напряжением U_Л в начале линии.

Одноименные фазы двух симметричных приемников соединены параллельно. Следовательно, приемники можно заменить одним эквивалентным симметричным, фазы которого соединены треугольником (рис. 3.15, б), с одинаковыми комплексными сопротивлениями

Z _ф = Z _ф1 Z _ф2 / (Z _ф1 + Z _ф2)

где

Z _ф1 = R_ф1 + jX_ф1; Z _ф2 = R_ф2 + jX_ф2.

Заменим далее полученную симметричную цепь по схеме треугольника эквивалентной симметричной цепью по схеме звезды (рис. 3.15, в) с комплексным сопротивлением фазы:

С учетом комплексного сопротивления проводов линии передачи вся цепь преобразована в эквивалентную симметричную цепь с фазами, соединенными звездой. Комплексное сопротивление фазы эквивалентной звезды

Z _ф = Z _л + Z _фY = R_ф + jX_ф

и полное сопротивление

Z _ф = √ R_ф² + X_ф²

Дальнейший расчет не требует применения комплексного метода. Достаточно сначала определить действующее значение линейного тока

I_Л = U_ф / Z_ф = U_Л / (√ 3 Z _ф)

а затем действующие значения фазного напряжения эквивалентной звезды приемников

U_фY = Z_фY I_Л и — линейного напряжения приемников U_Л∆ = √ 3 U_фY. Действующие значения фазных токов приемников

I_ф1 = U_Л∆ / Z_Ф1; I_ф2 = U_Л∆ / Z_Ф2

Дата добавления: 2015-07-15