Доказательство. Предположим противное, т, е

Предположим противное, т, е. что функция f(x) не является равномерно непрерывной на отрезке [a, b]. Это значит, что для некоторого ε > 0 и любого δ > 0 най­дутся такие точки х, х ' ϵ [а, b],

lx – x’l < δ, что lf(x) — f(x')l ε.

Выбрав последовательность положительных чисел { δ _п}, сходя­щуюся к нулю, построим две последовательности {x„} ⊂ [a, b], {x’„} ⊂ [a, b], такие, что

lx_n – x’_nl < δ_n1 (4)

lf(x) — f(x')l ε. (5)

Из ограниченной последовательности {x_п} в силу теоремы Боль­цано-Вейерштрасса 3.11 можно выбрать сходящуюся подпосле­довательность {X_nk} Пусть x_nk x₀. Ясно, что x₀ [a, b] (так как

{x_nk} ⊂ [a, b]. Из неравенств (4) следует, что

x_nk - δ_nk < x’_nk < x_nk + δ_nk

Переходя в последних неравенствах к пределу при k _∞, полу­чим x_nk x_0.

Итак, последовательности {x_nk}, {x’_nk} сходятся к одному и тому же пределу x₀ [a, b] _. В силу непрерывности функции f(x) в точке x₀ последовательности { f (x_nk)} и { f{x’_nk)} также должны сходиться к одному и тому же пределу f (x₀). Однако это невоз­можно, так как из неравенств (5) следует, что lf(x_nk) — f(x'_nk)l ε.Полученное противоречие доказывает теорему.

Дата добавления: 2015-07-16