Доказательство.

Доказательство.

База индукции. Если , то . Поскольку 4 делится на 4, база индукции выполнена.

Предположение индукции. Допустим, утверждение верно для , т. е.

для некоторого целого числа q.

Шаг индукции. Возьмём . Тогда

.

По предположению индукции . Следовательно,

.

Так как – целое число, то делится на 4. Утверждение доказано.

Пример 2. Доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна , т. е.

.

Доказательство.

База индукции. Подставим в это равенство ; наименьшее натуральное число, при котором формула имеет смысл. В этом случае у нас только одно нечётное число и формула, очевидно, обращается в верное тождество:

.

Предположение индукции. Предполагаем, что формула верна для любого

набора первых k нечётных чисел, т. е. равенство

истинно.

Шаг индукции. Здесь нам нужно проверить формулу для первых нечётных чисел, а именно, установить справедливость равенства

.

Выделив в левой части проверяемого равенства первые k слагаемых, мы можем воспользоваться предположением индукции.

.

Отсюда видно, что формула, приведённая в утверждении, справедлива при . Значит, на основании принципа математической индукции она верна для любого натурального n. Утверждение доказано.

Пояснение для тех, кто не сразу понял, откуда в выражении взялся : смотрите предположение индукции – в особенности его правую часть.

Указание для внешне нестандартной задачи 9-го варианта. На шаге индукции (индуктивном переходе) при вычислении её следует представить в виде произведения .

Дата добавления: 2015-07-18