Доказательство. Используем известную формулу (из первого семестра):

Используем известную формулу (из первого семестра):

и все номера единичных координат вектора – это множество .

Эта формула вычисляет число - коэффициент, стоящий в многочлене Жегалкина функции перед произведением . Ясно, что если , то степень многочлена уже как минимум равна .

Вычислим для функции, удовлетворяющей . Если этот коэффициент равен единице, то степень функции будет не меньше , и, следовательно, утверждение будет неверным; а если он будет равен нулю, то мы очень близко подойдем к завершению доказательства.

Здесь все номера единичных координат вектора – это множество то есть множество из элементов. Таким образом, в векторе ровно единиц, а остальные – нули. Вектор выглядит так:

Из условия суммирования следует, что всякий вектор выглядит так:

То есть у вектора нули на тех же местах, где нули у вектора . А там, где у вектора стоят единицы, у вектора могут стоять как единицы, так и нули. Очевидно, что всего векторов вида ровно штук. Так как в этих векторах меняются только переменных, то

где – функция, зависящая от переменных, или, что то же самое, получающаяся из функции фиксированием переменных. По условию утверждения функция удовлетворяет , и если , то по доказанной лемме

По построению функции мы имеем

Так как данное выражение, очевидно, не зависит от выбора чисел , то мы можем заключить, что у функции нет степени .

Чтобы завершить доказательство, надо показать, что у функции нет и более высоких степеней. Вычислим -ю степень:

Теперь просто разобьем эту сумму на сумм, в каждой из которых штук компонент с номерами, к примеру, будут фиксированными, а остальные компонент – изменяемыми. Тогда для каждой такой суммы будет выполняться то, что мы только что доказали, то есть каждая такая сумма будет равна нулю.

Сумма нулей даст, разумеется, нуль, поэтому у нашей функции нет и -й степени. Следовательно, ее степень меньше, чем . Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-07-15