Монотонные функции

Теорема 4.15. Пусть функция f(x) монотонна на открытом промежутке Р. Тогда в каждой точке х₀ € P существуют односто­ронние пределы

причем f(x₀ — 0) ≤ f(x₀) ≤ f(x₀ + 0) f(x₀ — 0) ≥ f(x₀) ≥ f(x₀ + 0)(1)

если, функция f(x) не убывает (не возрастает).

Доказательство.

Для определенности будем считать, что функция f(x) не убывает на промежутке Р. Тогда множество зна­чений функции f(x) при х< x₀ (x принадлежит P) ограничено сверху (так как f(x) ≤ f(x₀)) и потому имеет точную верхнюю грань М. Очевидно, М ≤ f(x₀). Покажем, что lim f(x)= f(x₀ - 0) = М

x->x₀ - 0

В самом деле, согласно определению точной верхней грани для задан­ного ε >0 найдется такое б > 0, что М — ε < f(x₀ — б) ≤ M. По­скольку f(x) не убывает, то при x₀—б < х < x₀ имеем М — ε < f(x₀ — б) ≤ f(x) ≤ M. Отсюда следует, что М — ε < f(x) ≤ M при x₀—б < х < x₀. Следовательно, lim f(x)= f(x₀ - 0) = М ≤ f(x₀)

x->x₀ - 0.

Аналогично доказывается, что lim f(x)= f(x₀ + 0) = М ≥ f(x₀)

x->x₀ + 0

Теорема доказана.

Следствие.

Каждая точка х₀ принадлежащая промежутку Р является, либо точкой не­прерывности монотонной функции f(x), либо точкой разрыва пер­вого рода, т. е. монотонная функция не может иметь точек разры­ва второго рода.

Доказательство.

В силу неравенства (1), если f(x₀ - 0)= f(x₀ + 0) то x₀ — точка непрерывности функции f(x), если f(x₀ - 0) ≠ f(x₀ + 0), то x₀ — точка разрыва первого рода.

Теорема 4.16.

Множество точек разрыва монотонной на от­крытом промежутке Р функции f(x) не более чем счетно.

Доказательство.

Для определенности будем считать, что функция f(x) не убывает. Пусть точка х₀ принадлежащая промежутку Р — точка разрыва функции f(x), тогда в силу (1)

f(x₀ - 0)< f(x₀ + 0)

В силу теоремы 2.1 существует рациональное число r, заклю­ченное между f(x₀ - 0) и f(x₀ + 0), т. е.

f(x₀ - 0) < r < f(x₀ + 0)

Таким образом, каждой точке разрыва поставлено в соответ­ствие некоторое рациональное число. Если х₁ и х₂ (х₁ < х₂) — две точки разрыва и r₁ и r₂ — соответствующие им рациональные чис­ла, то r₁ < f(x₁ + 0) ≤ f(x₂ — 0) < r₂, т. е. r₁ < r₂. Следовательно, различным точкам разрыва поставлены в соответствие различные рациональные числа. Итак, установлено взаимно однозначное со­ответствие между множеством точек разрыва монотонной на Р функции и некоторым подмножеством множества рациональных чисел, которое в силу теоремы 1.3 счетно.

Теорема доказана.

Пример.

Если функция f(x) не монотонна на P, то множество точек разрыва может быть несчетным. Так функция Дирихле:

0, если х — иррациональное число,

1, если х — рациональное число,

Имеет разрывы во всех точках числовой прямой (-∞, +∞).

Множество значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b],представ­ляет собой отрезок. Таким образом, для непрерывности функция f(x) на отрезке [а, b] необходимо, чтобы множество ее значений также представляло собой отрезок. Оказывается, что для моно­тонных функций это условие достаточно.

'Теорема 4.17.

Пусть функция f(x) монотонна на отрезке [a, b] и множество ее значений представляет собой отрезок. Тогда функция f(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство.

Предположим противное, т. е. что функ­ция f(x) разрывна на [a,b]. Для определенности будем считать, что f(x) не убывает. Пусть х₀ — точка разрыва, тогда либо f(x₀ — 0) < f(x₀), либо f(x₀) < f(x₀ + 0). В первом случае при х < х₀ значения функции f(x)≤ f(x₀ — 0), а при х ≥ х₀ значения f(x) ≥ f(x₀), т, е. функция f(x) не принимает значений из интервала (f(x₀ — 0), f(x₀)). Аналогичным образом показывается, что во вто­ром случае функция f(x) не принимает значений из интервала (f(x₀), f(x₀+0)). В обоих случаях множество значении функции не может быть отрезком. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 4.18.

Пусть функция f(x) непрерывна и возрастает (yбывает) на отрезке [a,b], тогда существует обратная функция x =φ(y), непрерывная и возрастающая (убывающая) на отрезке [f(a),f(b)] ([f(b),f(a)]).

Доказательство.

Для определенности будем считать, что f(x) возрастает на отрезке [a,b]. Множество значений непрерыв­ной функции f(x) представляет собой отрезок [f(a),f(b)], посколь­ку для любого х € [a, b] имеют место неравенства f(а) ≤ f(x) ≤ f(b) и в силу теоремы 4.11 любое значение из отрезка [f(a), f(b)] функция f(x) принимает хотя бы один раз.

Поскольку функция f(x) возрастает на [a, b], существует об­ратная функция х = φ (y), определенная па отрезке [f(a), f(b)], множеством значений которой будет отре­зок [a, b].

Функция φ(y) возрастает. В самом деле, если допустить про­тивное, то найдутся такие y₁,y₂ € [f(a), f(b)], y₁<y₂, что φ(y₁ ) ≥ φ(y₂). Но тогда f (φ(y₁ )) ≥ f(φ(y₂)), т. е. y₁ ≥ y₂, что противоре­чит неравенству y₁<y₂.

В силу теоремы 4.17 функция φ(y) непрерывна на отрезке [f(a), f(b)]. Теорема доказана.

Следствие.

Пусть функция f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на промежутке Р, тогда обратная функция х =φ(у) непрерывна и возрастает (убывает) на промежутке f(P).

Доказательство проведем в том случае, когда функция f(x) возрастает.

У функ­ции f(x), непрерывной на промежутке Р, множество значений f(P) — также промежуток. Поэтому обратная функция х =φ(y) определена на промежутке f(P).

В силу теоремы 4.18 обратная функция х =φ(y) непрерывна на любом отрезке [ А, В] из f(P), так как функция f(x) непрерывна и возрастает па отрезке [φ(A), φ(B)] из промежутка Р. Отсюда следует, что функция х =φ(y) непрерывна на промежутке f(P). Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-16