Элементарные функции и их непрерывность. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

В этой главе показывается, что каждая из тригонометрических функций непрерывна в своей области определения.

Предварительно установим следующие неравенства:

0 < |sin x| < |x| < |tg x| при 0 < |x| < /2. (1)

Рассмотрим тригонометрический круг единичного радиуса, где |ВС|=|sin x|, |DA|=|tg x|,

АОВ = х. Из геометрических соображений ясно, что при 0<|x|< /2 имеем 0<(площадь ∆АОВ)<(площадь сектора АОВ)<(площадь ∆ АОD), т.е.

0 < ½|BC||AO| < ½ |AO|²|x| <½|DA||AO|

или (поскольку |АО|=1)

0 <|sin x| < |x| < |tg x|.

Неравенство (1) доказано.

Покажем, что функция y=sin x непрерывна на всей числовой прямой. В самом деле, так как

sin x – sin x₀ = 2 sin x cos ,

то в силе неравенства (1) (при |х - x₀| < /2)

| sin x – sin x₀| ≤ 2| sin x | < 2 = | х - x₀|.

Для произвольно заданного > 0 выбираем = , тогда из последнего неравенства следует, что | sin x – sin x₀| < , если |х - x₀| < . Следовательно, функция y=sin x непрерывна при всех х.

Аналогично из равенства

cos x – cos x₀ = − 2 sin x sin

вытекает непрерывность функции y = cos x при всех х.

Функция tg x = , ctg x = , будучи отношениями двух непрерывных функций, непрерывны в точках, в которых соs x ≠ 0, sin x ≠ 0.

Обратные непрерывные функции непрерывны в областях их определения. Так например, функция y = arcsin x является обратной по отношению к функции y = sin x, непрерывной и возрастающей на отрезке [– /2, /2], множество значений которой представляет собой отрезок [–1,1].

Значит y = arcsin x непрерывна на отрезке [–1,1].

Дата добавления: 2015-07-16