зрения предельного перехода.

Пусть функция f(x) и g(x) определены в окрестности точки . Пусть . Тогда говорят, что функция g(x) есть бесконечно малая в окрестности точки .

Если =0, то говорят, что функция f(x) имеет более высокий порядок малости, чем g(x), в окрестности точки .

В этом случае пишут f(x)=o(g(x)) при x→ (читается: о малое от g(x)).

Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными в окрестности точки , если =1. В этом случае пишут f(x) g(x) при x→ .

Если существует такая постоянная с>0, что │f(x)│≤c│g(x)│ в некоторой окрестности точки , то говорят, что порядок малости функции f(x) не ниже, чем порядок малости функции g(x) в окрестности точки .

В этом случае пишут f(x)=O(g(x)) при x→Xo (читается О большое от g(x)).

Примеры 1. Пусть f(x) g(x) при х , тогда -1=a(x) –бесконечно малая при x→Xo,откуда следует, что

F(x) = g(x) + o(g(x)) (o(g(x)) = a(x)g(x)). Так как = 1, то Sin x x.

2. пусть существует конечный предел

= a (1)

Тогда f(x) = O (g(x)). (поскольку предел 1 конечен, функция f(x)/g(x) ограничена в некоторой окрестности точки Хо: │f(x)/g(x)│≤ c и │f(x)│≤ c│g(x)│.)

Пусть f(x) и g(x) определены в окрестности точки Хо. Пусть = ∞.

Функция f(x) и g(x) называются эквивалентными в окрестности точки Хо,если = 1.

Теорема. Пусть f(x) и g(x) – эквивалентные в окрестности точки Хо функции. Тогда, если существует предел , тогда существует предел .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, так как f(x) и g(x) эквиваленты, то = 1 и

= = a. Теорема доказана.

Доказанная теорема говорит о том, что любой сомножитель(делитель) под знаком предела может быть заменён на эквивалентный ему сомножитель (делитель). Однако заменять слагаемые эквивалентными им функциями, вообще говоря, нельзя. В связи с этим рассмотрим П Р И М Е Р

= = = . Если же заменить Cos x эквивалентной в окрестности нуля функцией f(x)=1, то получим неправильный результат:

= =0.

Дата добавления: 2015-07-16