Элементарные функции и их непрерывность.

1. Степенная функция с рациональным показателем. Степенная функция x=yⁿ (n=1,2,…)

непрерывна на всей числовой прямой. В самом деле, y=xx….x(n раз) есть произведение n непрерывных функций.

Функция y=x^-n (n =1,2,…) непрерывна при x≠0. На основе предыдущего абзаца, функция y=x^-n =1/xⁿ непрерывна при х≠0.

Функция будучи обратной по отношению к непрерывной монотонной функции х=уⁿ , рассматриваемой при непрерывна в силу следствия из теоремы 4.18.

Для пропорционального r=p/в (в p -целое) функция у=х^r = , будет непрерывна при х>0 по теореме 4.10 о непрерывности сложной функции. (Здесь f(x)= (t)=t^p ).

2. Показательная функция у=а^х ((a>0). В силу сказанного в п.1 показательная функция у=а^х

уже определенна для любого рационального х.

Будем пока считать a>1.

Имеют место следующие свойства функции f(r)=a^r , рассматриваемой на множестве рациональных чисел:
1) a^r1+r2 =a^r1 a^r2 .

2) Если r₁ <r₂,то a^r1<a^r2(a>1).

3) Функция f(r)=a^r непрерывна в точке 0, т.е. .

4) Если - сходящаяся последовательность рациональных чисел, то последовательность фундаментальна и, следовательно, сходится.

Свойства 1) и 2) легко проверяются. Докажем свойства 3) и 4).

Д о к а з а т е л ь с т в о свойства 3). Покажем, что .

Обозначим а^1/n-1=a_n. Очевидно, a_n>0. По формуле бинома Ньютона а=(1+а_п )^п=1+na_n+ откуда видно, что 0<a_n

Из полученных неравенств в силу теоремы 3.4 следует, что

,

Равенство (1) доказано.

Из (1) следует, что

Действительно,

.

Докажем, что . Для произвольно заданного в силу (1) И (2) найдётся такой номер m, что выполняются неравенства 0<a^-1/m-1< , 0<1-a^-1/m< .

В силу свойства 2) . Пусть теперь |r|< , тогда

Таким образом, при |r|

т.е . Свойство 3) доказано.

Д о к а з а т е л ь с т в о свойства 4). Поскольку последовательность (r_n) сходится, то она ограничена и фундаментальна. Следовательно, ограничена и последовательность {a^r(n)} (в силу свойства 2):

В силу свойства 3) заданного найдётся такое , что для любого рационального r, удовлетворяющего условию , выполнено неравенство:

Так как последовательность {r_n } фундаментальна, то существует такой номер N, что при всех n, m>N имеет место неравенство: .

Из неравенства 4) и 5) следует, что при n, m>N

и в силу (3)

.

Таким образом, последовательность {a^r(n)} фундаментальна. Свойства 4) доказано.

Пусть {r_n} – последовательность рациональных чисел, сходящаяся к вещественному числу х. Положим по определению

Как обычно показано выше (свойство 4), придел справа всегда существует. Покажем, что он не зависит от выбора от выбора последовательности {r_n}. В самом деле, если {r_n} и {r_n^’}- две последовательности, сходящиеся к одному и тому же числу х, то в силу свойства 3) при и тогда

Итак, показательная функция у=а^х (а>1) определена на всей числовой прямой.

Имеют место следующие свойства:

1. а^х(1)+х(2)=а^х(1)+(2) для любых вещественны х₁ и х₂;

2. а^х>0 для любого вещественного х;

3. Показательная функция у=а^х (a>1) возрастает.;

4. Показательная функция у=х^а непрерывна в точке 0.

Свойства 1-3 проверяются довольно просто. Остановимся на доказательстве свойства 4.

В силу второго определения предела функции нужно доказать, что для любой последовательности соответствующая последовательность значений функции . Воспользовавшись тем, что для любых двух различных вещественных чисел найдётся рациональное число, заключённое между ними (теорема 2.1), построим две последовательности {r_n^’}, {r_n} рациональных чисел так, чтобы выполнялись неравенства:

Очевидно, Кроме того (так как a>1),

В силу теоремы 3.4 из полученных неравенств следует, что Свойство 4.доказано.

До сих пор мы предполагали, что a>1. Если 0<a<1, то по определению полагают

а^х=(а^-1)^-х.

Если а=1, то а^х=1 для любого х.

Легко видеть, что при 0<a<1 показательная функция у=а^х убывает и для неё выполняются свойства 1., 2. и 4..

Т е о р е м а 4.19. Показательная функция у=а^х (а>0) непрерывна на всей числовой оси, причём при а>1 (a<1) она возрастает (убывает) и множество её значений представляет собой промежуток (0;+ ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойства монотонности функции у=а^х были уже отмечены выше. Докажем её непрерывность. В силу теоремы 4.10 о непрерывности сложной функции и свойства 4. Для любого вещественного числа х₀

Поэтому

т.е функция у=а^х непрерывна на всей числовой прямой.

Покажем, что множество значений функций у=ф^х представляет собой промежуток (0,+ ). Пусть, например, а>1. А Р есть некоторый промежуток множества значений функции у=а^х. Поскольку и а^х>0 (в силу действия 2.), то Р=(0, . Теорема доказана

3. Логарифмическая функция y=log_ax (a>0,a≠1). Логарифмическая функция y=log_ax определяется как обратная по отношению к функции х=а^у.

Из ранее изученных теорем мы знаем, что логарифмическая функция определена на промежутке , монотонно возрастает (убывает) при а>1 (0<a<1) и непрерывно на этом промежутке.

Логарифмы, в качестве основания которых выбрано число е, называются натуральными логарифмами. Для них вводится следующее обозначение:

log_ax=ln x.

4. Степенная функция с вещественным показателем . Степенная функция с вещественным показателем определена для всех x>0 и связана с показателем и логарифмической функциями соотношением:

В силу теоремы 4.10 о непрерывности сложной функции и непрерывности логарифмической и показательной функций степенная функция непрерывна при x>0.

Дата добавления: 2015-07-16