Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Доказательство. Докажем, что f(х)=L.

Читайте также:
  1. Доказательство.
  2. Доказательство.
  3. Доказательство.
  4. Доказательство.
  5. Доказательство.
  6. Доказательство.

Докажем, что f(х)=L.

Из (1) следует, что 0 1>0 х (х Х, х< х о, │x - хо│< 1): │f(х)- L│< (2).

Из (1) следует, что 0 2>0 х (х Х, х>х о, │x - хо│< 2): │f(х)- L│< (3).

Возьмём произвольное 0 и зафиксируем его.

Положим =min{ 1, 2}>0.

Тогда х (х Х, х х о, │x - хо│< ): │f(х)- L│< , так как х хо, то либо х< хо и тогда справедливо (2), либо х>хо и тогда справедливо (3).

 

 

§6. Пределы функций на бесконечности.

Примеры.

1. y= f(х)= arctg( x ), Х=(, + ).

При х y , при х + y .

2. y= f(х)= , Х=(, + ). y 0 при х .

О таких функциях в этом параграфе и пойдёт разговор.

 

Определение.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, и пусть множество Х неограниченно сверху (Х неограниченно снизу).

Говорят, что число L является пределом функции f(х) при х + (соответственно, при х ) и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если

(Г)2 (К)2

n} : 0 D>0 х (х Х, х>D):

│f(х)- L│<

f(хn)=L (соотв. х<D): │f(х)- L│<

 

Определения (Г)2 и (К)2 эквивалентны.

(Г)2 и (К)2 обладают всеми свойствами пределов функций, арифметическими и другими.

 

Замечание.

Неограниченная сверху область определения Х функции f(х) может содержать промежуток [a, + ) или (a, + ), но необязательно, а неограниченная снизу область определения Х функции f(х) - промежутки (, b] или ( b), и тоже необязательно.

Например.

1. f(х)= , Х=(, 0) (0, + ).

2. f(х)= , Х= , (n+1))

§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)

1. f(х)= , Х=(, 0) (0, + ). При х 0 f(х) +

2. f(х)=х3, Х=(, + ). При х f(х) , при х + f(х) + .

 

 

Определение.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) стремится к + ) при х хо и пишут f(х)= + (соответственно, f(х)= ), если

(Г)3 (К)3

n} Е>0 >0 х (х Х, х хо, │x - хо│< ):

f(х)>Е (соотв. f(х)< Е)

f(хn)= +

(соотв. f(хn)= )

 

Определения (Г)3 и (К)3 эквивалентны. (Г)3 и (К)3 обладают всеми свойствами пределов функций.

Аналогично определяются:

f(х)= + f(х)= +

f(х)= f(х)=

 

Замечание.

Иногда рассматривают функцию f(х), стремящуюся к при х + , при х , и стремящуюся к + и к на бесконечности.

Например.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, Х –неограниченно снизу, тогда f(х)= + определяется так:

(Г)4 (К)4

n} : Е>0 D>0 х (х Х, х< D):

f(хn)= + f(х)>Е

Е>0 n>N: f(хn)>Е

 

§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

I. Определение.

Пусть (х) имеет стандартную область определения Х и точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Функция (х) называется бесконечно малой при х хо, если (х)=0.

Определение.

Пусть (х) и (х) имеют общую стандартную область определения Х, и обе являются бесконечно малыми при х хо.

Говорят, что б.м. (х) и (х) при х хо имеют один и тот же порядок малости и пишут (х)= x xo[ (х)], если =L 0.

Замечание.

Мы в данном случае предполагаем, что отношение определено на Х о-h, хо+h), h>0, то есть (х) 0 несмотря на то, что (х)=0.

Определение.

Говорят, что две б.м. (х) и (х) при х хо эквивалентны, если =1.

Определение.

Говорят, что б.м. (х) при х хо имеет более высокий порядок малости относительно б.м. (х) при х хо, если =0 и пишут (х)= х хо[ (х)].

Определение.

Говорят, что б.м. (х) при х хо имеет порядок малости равный р относительно б.м. (х) при х хо, если =L 0 и пишут (х)= x xo[ р(х)].

Определение.

Если не существует , и функция при х хо, то говорят, что б.м. (х) и (х) при х хо несоизмеримы.

Примеры.

1. (х)=х и (х)=│x│ при х 0 несоизмеримы.

2. (х) и │ (х)│ - б.м., при х хо несоизмеримы.

3. f(х)=х и g(х)=х· - б.м. при х 0 g(х)= x 0[ ] р= – порядок малости при х 0 относительно х.

 

II. Бесконечно большие –б.б.

Пусть (х) и (х) – бесконечно большие функции при х хо.

Определение.

Говорят, что б.б. (х) и (х) имеют один и тот же порядок роста при х хо и пишут (х)= x xo[ (х)], если =L 0.

Определение.

Говорят, что б.б. (х) имеет порядок роста равный р относительно (х) при х хо, если =L 0 и пишут (х)= x xo[ р(х)].

Определение.

Говорят, что б.б. (х) более высокого порядка роста относительно б.б. (х) при х хо, если = .

 

 

§9. Специальные пределы функций.

I.

Функция f()= определена на Х=(, 0) (0, + ), точка о=0 является концом одновременно двух смежных промежутков из Х. так как рассматриваем , то достаточно рассмотреть этот предел для сужения нашей функции f(), то есть для функции , (, 0) (0, ).

Рассмотрим каждый интервал отдельно.

1. >0, tg >0.

 

u
y
0 C 1 u
D B
 

Вычислим площадь треугольника А0В, сектора и △А0D.

А0В △А0D.

пл. А0В<пл. <пл. △А0D.

Из элементарной геометрии: ·1· < ·1· < ·1· tg

< < tg и т.к. >0, то 1< < < <1.

= =1

Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх функций =1

2. < <0 0<()< < <1.

Согласно чётности и нечётности : < <1.

=1 = =1 согласно теореме §5 получаем

=1.

 

II.

Рассмотрим g(х)= ; Х=(, 1) (0, + ) стандарстная область определения функции g(х).

Докажем, что = =e.

Для этого сначала докажем, что >0 D>0 х (х Х, х>D): │ │< .

А так как g(х)= , то = =e

1. Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его. Ищем D>0.

=e >0, а значит и для нашего фиксированного >0 N1 n> N1: │ e│< .

e < e= sup { } (*)

А так как =1 >0, >0, N2 n>N2: │ │< 1 < <1+ (**)

Положим N=max{N1, N2}, D=N+1>0.

Тогда х>D и =n получаем n х<n+1 n>N N1 и n>N N2

e < < < = e(1+ )=e+

2. Докажем, что │ │<

=e.

Используем определение (Г)2.

Возьмём произвольную последовательность {xn} типа Гейне ( n: хn Х хn= ) и проверим, что g(х)=e.

Так как Х=(, 1) (0, + ), то не ограничивая общности можно считать, что n: xn< 1<0, то есть xn (, 1). Рассмотрим последовательность {xn}, где n: xn= xn>1>0 xn=+ .

n: g(xn)= = = = = = = =g(xn 1)

В силу выбора последовательности {xn}, последовательность {xn 1} обладает свойствами:

1. n: xn = xn 1 (0, + ) Х

2. (xn 1)=+ (ибо хn= )

А тогда по доказанному в п.1 g(хn)= g(xn 1) =e.

А так как последовательность была выбрана произвольно, то g(хn) .

 

III. h(z)= , Z==(, 0) (0, + ).

Докажем, что h(z)= =e.

Для этого докажем, что h(z)= h(z)=e.

 

Замечание.

Справедливы следующие утверждения.

Докажите их самостоятельно.

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 160 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Закон двойственности. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Докажем теорему 2. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Доказательство.| Утверждение 1.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.035 сек.)