Доказательство. Докажем, что f(х)=L.

Читайте также:

Докажем, что f(х)=L.

Из (1) следует, что 0 ₁>0 х (х Х, х< х _о, │x - х_о│< ₁): │f(х)- L│< (2).

Из (1) следует, что 0 ₂>0 х (х Х, х>х _о, │x - х_о│< ₂): │f(х)- L│< (3).

Возьмём произвольное 0 и зафиксируем его.

Положим =min{ ₁, ₂}>0.

Тогда х (х Х, х х _о, │x - х_о│< ): │f(х)- L│< , так как х х_о, то либо х< х_о и тогда справедливо (2), либо х>х_о и тогда справедливо (3).

§6. Пределы функций на бесконечности.

Примеры.

1. y= f(х)= arctg( x ), Х=(, + ).

При х y , при х + y .

2. y= f(х)= , Х=(, + ). y 0 при х .

О таких функциях в этом параграфе и пойдёт разговор.

Определение.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, и пусть множество Х неограниченно сверху (Х неограниченно снизу).

Говорят, что число L является пределом функции f(х) при х + (соответственно, при х ) и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если

(Г)₂ (К)₂

{х_n} : 0 D>0 х (х Х, х>D):

│f(х)- L│<

f(х_n)=L (соотв. х<D): │f(х)- L│<

Определения (Г)₂ и (К)₂ эквивалентны.

(Г)₂ и (К)₂ обладают всеми свойствами пределов функций, арифметическими и другими.

Замечание.

Неограниченная сверху область определения Х функции f(х) может содержать промежуток [a, + ) или (a, + ), но необязательно, а неограниченная снизу область определения Х функции f(х) - промежутки (, b] или ( b), и тоже необязательно.

Например.

1. f(х)= , Х=(, 0) (0, + ).

2. f(х)= , Х= , (n+1))

§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)

1. f(х)= , Х=(, 0) (0, + ). При х 0 f(х) +

2. f(х)=х³, Х=(, + ). При х f(х) , при х + f(х) + .

Определение.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка х_олежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) стремится к + (к ) при х х_о и пишут f(х)= + (соответственно, f(х)= ), если

(Г)₃ (К)₃

{х_n} Е>0 >0 х (х Х, х х_о, │x - х_о│< ):

f(х)>Е (соотв. f(х)< Е)

f(х_n)= +

(соотв. f(х_n)= )

Определения (Г)₃ и (К)₃ эквивалентны. (Г)₃ и (К)₃ обладают всеми свойствами пределов функций.

Аналогично определяются:

f(х)= + f(х)= +

f(х)= f(х)=

Замечание.

Иногда рассматривают функцию f(х), стремящуюся к при х + , при х , и стремящуюся к + и к на бесконечности.

Например.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, Х –неограниченно снизу, тогда f(х)= + определяется так:

(Г)₄(К)₄

{х_n} : Е>0 D>0 х (х Х, х< D):

f(х_n)= + f(х)>Е

Е>0 n>N: f(х_n)>Е

§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

I. Определение.

Пусть (х) имеет стандартную область определения Х и точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Функция (х) называется бесконечно малой при х х_о, если (х)=0.

Определение.

Пусть (х) и (х) имеют общую стандартную область определения Х, и обе являются бесконечно малыми при х х_о.

Говорят, что б.м. (х) и (х) при х х_о имеют один и тот же порядок малости и пишут (х)= _x _xo[ (х)], если =L 0.

Замечание.

Мы в данном случае предполагаем, что отношение определено на Х (х_о-h, х_о+h), h>0, то есть (х) 0 несмотря на то, что (х)=0.

Определение.

Говорят, что две б.м. (х) и (х) при х х_о эквивалентны, если =1.

Определение.

Говорят, что б.м. (х) при х х_о имеет более высокий порядок малости относительно б.м. (х) при х х_о, если =0 и пишут (х)= _х _хо[ (х)].

Определение.

Говорят, что б.м. (х) при х х_о имеет порядок малости равный р относительно б.м. (х) при х х_о, если =L 0 и пишут (х)= _x _xo[ ^р(х)].

Определение.

Если не существует , и функция при х х_о, то говорят, что б.м. (х) и (х) при х х_о несоизмеримы.

Примеры.

1. (х)=х и (х)=│x│ при х 0 несоизмеримы.

2. (х) и │ (х)│ - б.м., при х х_о несоизмеримы.

3. f(х)=х и g(х)=х· - б.м. при х 0 g(х)= _x ₀[ ] р= – порядок малости при х 0 относительно х.

II. Бесконечно большие –б.б.

Пусть (х) и (х) – бесконечно большие функции при х х_о.

Определение.

Говорят, что б.б. (х) и (х) имеют один и тот же порядок роста при х х_о и пишут (х)= _x _xo[ (х)], если =L 0.

Определение.

Говорят, что б.б. (х) имеет порядок роста равный р относительно (х) при х х_о, если =L 0 и пишут (х)= _x _xo[ ^р(х)].

Определение.

Говорят, что б.б. (х) более высокого порядка роста относительно б.б. (х) при х х_о, если = .

§9. Специальные пределы функций.

Функция f()= определена на Х=(, 0) (0, + ), точка _о=0 является концом одновременно двух смежных промежутков из Х. так как рассматриваем , то достаточно рассмотреть этот предел для сужения нашей функции f(), то есть для функции , (, 0) (0, ).

Рассмотрим каждый интервал отдельно.

1. >0, tg >0.

0 C 1 u

D B

Вычислим площадь треугольника А0В, сектора и △А0D.

А0В △А0D.

пл. А0В<пл. <пл. △А0D.

Из элементарной геометрии: ·1· < ·1· < ·1· tg

< < tg и т.к. >0, то 1< < < <1.

= =1

Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх функций =1

2. < <0 0<()< < <1.

Согласно чётности и нечётности : < <1.

=1 = =1 согласно теореме §5 получаем

=1.

II.

Рассмотрим g(х)= ; Х=(, 1) (0, + ) стандарстная область определения функции g(х).

Докажем, что = =e.

Для этого сначала докажем, что >0 D>0 х (х Х, х>D): │ │< .

А так как g(х)= , то = =e

1. Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его. Ищем D>0.

=e >0, а значит и для нашего фиксированного >0 N₁ n> N₁: │ e│< .

e < e= sup { } (*)

А так как =1 >0, >0, N₂ n>N₂: │ │< 1 < <1+ (**)

Положим N=max{N₁, N₂}, D=N+1>0.

Тогда х>D и =n получаем n х<n+1 n>N N₁ и n>N N₂

e < < < = e(1+ )=e+

2. Докажем, что │ │<

=e.

Используем определение (Г)₂.

Возьмём произвольную последовательность {x_n} типа Гейне ( n: х_n Х х_n= ) и проверим, что g(х)=e.

Так как Х=(, 1) (0, + ), то не ограничивая общности можно считать, что n: x_n< 1<0, то есть x_n (, 1). Рассмотрим последовательность {x_n^’}, где n: x_n^’= x_n>1>0 x_n^’=+ .