Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Доказательство. I случай. Пусть А<0, В>0, С=0.

Читайте также:
  1. Доказательство.
  2. Доказательство.
  3. Доказательство.
  4. Доказательство.
  5. Доказательство.
  6. Доказательство.

I случай. Пусть А<0, В>0, С=0.

Докажем, что с [a, b]: f(с)=0.

Положим a1=a, b1=b.

f(a1)=А<0, f(b1)=В>0.

Разделим отрезок [a1, b1] пополам. Тогда возможны два случая:

либо f( )=0 и с= , f(с)=0;

либо f( ) 0 (f( ) 0).

Если f( )>0, то рассмотрим [a2, b2]= [a1, ], если f( )<0, то рассмотрим отрезок [a2, b2]= [ , a1] f(a2)<0, f(b2)>0.

Разделим отрезок [a2, b2] пополам. Тогда либо f( )=0 и теорема доказана; либо f( ) 0 и мы возьмём так же, как и на первом шаге отрезок [a3, b3] [a2, b2] [a1, b1], дл.[a3, b3]= (b2–a2)= дл.[a2, b2], f(a3)<0, f(b3)>0.

Продолжим этот процесс. Тогда либо на конечном шаге мы найдём нужную точку с [a1, b1]= [a, b]: f(с)=0, либо мы построим последовательность вложенных отрезков [an, bn] таких, что n: дл.[an, bn]= дл.[a1, b1]= и f(an)<0, f(bn)>0.

Тогда по теореме о вложенных отрезках

an= bn n: с [an, bn] с [a1, b1]= [a, b].

f(x) непрерывна на промежутке X, [a, b] X, то f(x) непрерывна на [a, b], а, следовательно, и в точке с f(an)= f(bn)= f(с).

Но согласно теореме о предельном переходе в неравенствах для одной последовательности f(an)<0 f(с) 0 и f(bn)>0 f(с) 0 f(с)=0.

II случай. Пусть А<В.

Докажем, что С: А<С<В с [a, b]: f(с)=С.

Рассмотрим функцию f1(x)= f(x) –С. Она непрерывна на X по теореме об арифметических свойствах непрерывных функций.

А–С= f(a) –С= f1(a)<0, f1(b)=В –С= f(b) –С>0.

Тогда выполняются условия I-го случая с [a, b]: f1(с)=0 f1(с)= f(с) –С=0 f(с)=С.

III случай. Пусть А>В.

Тогда С: В<С<А с [a, b]: f(с)=С.

Рассмотрим функцию f2(x)= – f(x).

Из условия –В> –С> –А следует f2(a)= – f(a)= –А< –С< –В= f2(b)= – f(b).

f2(x) непрерывна на X, следовательно, и на [a, b]. Для неё выполняются условия случая II.

f2(a)= –А, f2(b)= –В с [a, b]: f2(с)= –С=–f(с) f(с)=С.

Замечание 1.

Теорема 1, в частности, верна и когда X=[a, b] и f(x) непрерывна на [a, b].

Замечание 2.

Для функции, заданной на стандартной области определения X, состоящей из нескольких промежутков, и непрерывной на X, теорема 1 применима к каждому промежутку отдельно.

Замечание 3.

Содержание теоремы 1 кратко состоит в том, что если X – промежуток и f(x) непрерывна на нём, то область значения f(x) Y={y; y= f(x), х Х} так же промежуток ( то есть непрерывная функция отображает промежуток на промежуток).

 

Теорема 2. (Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности функции непрерывной на отрезке.)

Любая функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём.


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 131 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Закон двойственности. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Докажем теорему 2. | Доказательство. | Доказательство. | Утверждение 1. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Классификация точек разрыва функции.| Доказательство.

mybiblioteka.su - 2015-2020 год. (0.019 сек.)