Докажем теорему 2.

Доказательство теоремы 2.

Рассмотрим функцию f₁(х)· f₂(х) на Х и возьмём произвольную последовательность {х_n} типа Гейне ( n: х_n Х, n: х_n х_о, х_n= х_о) и соответствующую последовательность значений функций f₁(х_n)· f₂(х_n).

А так как по условию теоремы f₁(х)= L₁ {х_n}, а значит и для нашей {х_n} ( n: х_n Х, n: х_n х_о, х_n= х_о): f₁(х_n)= L₁,

f₂(х)= L₂ {х_n}, а значит и для нашей {х_n}: f₂(х_n)= L₂.

А тогда по теореме о произведении двух сходящихся последовательностей:

f₁(х_n)· f₂(х_n)= f₁(х_n)· f₂(х_n)= L₁·L₂ так как {х_n} была вфбрана произвольно, то f₁(х)· f₂(х)= L₁·L₂.

Теорема 4.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) в точке х_о имеет предел L. Тогда он единственен.

Доказательство.

Пусть L=^(Г) f(х). Утверждение теоремы непосредственно следует из определения предела функции в точке в смысле Гейне и единственности предела сходящейся последовательности.

Теорема 5.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х. f(х) в точке х_о имеет предел L когда f(х) представима в виде х Х: f(х)=L+ (х), где (х)=0.

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть f(х)= L. Обозначим f(х)- L = (х) х Х: f(х)= L+ (х).

Докажем, что (х)=0.

Действительно, f(х)=^(К) L 0 >0 х ( х Х, х х_о, │x - х_о│< ): │ (х)│=│f(х)- L│< (х)=0.

2. Достаточность.

Дано: х Х: f(х)= L+ (х), где (х)=0.

Докажем, что f(х)= L.

По условию, х Х: f(х)= L+ (х), то (х)= f(х)- L

и т.к. (х)=0 0 >0 х ( х Х, х х_о, │x - х_о│< ): │ (х)│= │f(х)- L│< f(х)= L.

Теорема 6. (об устойчивости знака функции, имеющей в точке предел)

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) имеет предел в точке х_о равный L 0.

Тогда -окрестность точки х_о такая, что на множестве {(х_о- , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х функция f(х) имеет тот же знак, что и L.

Доказательство.

Пусть f(х)= L, L 0. Возьмём = >0.

Тогда 0, а значит и для = >0, >0 х ( х Х, х х_о, │x - х_о│< ):│ f(х)- L│< = L <f(х)< L+

1) Пусть L>0 │L│=L.

Тогда х {(х_о- , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х: 0<L- = <f(х)< L+ 0< <f(х) f(х)>0.

2) Пусть L<0. │L│= - L.

х {(х_о- , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х: L+ <f(х)<L- L< f(х)<0

Определение.

Функция f(х) называется ограниченной на множестве Х, если f(х) ограничена на Х и снизу, и сверху.

Теорема 7. (о локальной ограниченности функции, имеющей в точке предел).

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) имеет в точке х_о предел, равный L. Тогда на множестве (х_о х_о+ ) Х f(х) ограничена.

Дата добавления: 2015-10-30