Доказательство. 1. Пусть {xn} возрастает и ограничена сверху, то есть x1 x2 xn и В n: xn В.

1. Пусть {x_n} возрастает и ограничена сверху, то есть x₁ x₂ … x_n … и В n: x_n В.

Так как множество {x_n} всех элементов последовательности ограниченно сверху, то sup {x_n}=а.

Докажем, что x_n=а.

sup {x_n}=a 1) n: x_n а

2) 0 N: x_n>а- , а в силу возрастания {x_n} n>N: а- <x_N x_n а<а+ а- <x_n<а+ │x_n-а│< x_n=а.

^{2) 1)}

2. Пусть {x_n} убывает и ограничена снизу.

Тогда {-x_n} возрастает и ограничена сверху. В самом деле x₁ x₂ … x_n … - x₁ - x₂ … - x_n …

{x_n} ограничена снизу А n: А x_n - x_n -А {-x_n} ограничена сверху и возрастает. Тогда по доказанному в п.1 (-x_n)=-а= sup {-x_n}. А тогда а= x_n= inf {x_n}.

Следствие.

Любая возрастающая (убывающая) последовательность либо сходится к своей точной верхней грани (соответственно, к своей точной нижней грани), либо стремится к + (соответственно, к - )

§8. Теорема о вложенных отрезках.

Теорема.

Пусть последовательность отрезков (1) { [a_n, b_n] } удовлетворяет следующим условиям:

1). n: [a_n+1, b_n+1] [a_n, b_n]

2). дл.[a_n, b_n]= (b_n- a_n)=0

Тогда последовательность концов отрезков {a_n} и {b_n} сходится и a_n= b_n=с.

При этом с является единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам последовательности (1).

Доказательство.

Рассмотрим последовательность {a_n} левых концов отрезков.

Из условия 1) следует, что n, n=1, 2, …: а_n+1 a_n {a_n} возрастает. А так как n: a_n b₁ (a_n b_n b₁), то {a_n} ограничена сверху. {a_n} возрастает и ограничена сверху, а тогда по теореме §7 она сходится с: с= a_n.

Рассмотрим теперь последовательность {b_n} правых концов отрезков [a_n, b_n], n=1, 2, …

Так как для любого n: b_n=a_n+(b_n-a_n), то по теореме о пределе суммы двух сходящихся последовательностей {a_n} и {b_n-a_n} b_n=с+0=с.

Согласно следствию §7 a_n=с= sup {a_n}, а так как {b_n} убывает и ограничена снизу, то b_n=с= inf {b_n}.

По определению sup {a_n} и inf {b_n}:

n: a_n с b_n n: с [a_n, b_n].

Докажем теперь, что точка с - единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1).

Предположим, что с′, с′ с и такое, что n: с′ [a_n, b_n].

Значит, n: -(b_n- a_n) с- с′ b_n- a_n, а так как с′ с, то |с- с′|>0 0<|с- с′| (b_n- a_n).

Но это противоречит тому, что (b_n- a_n)=0.

Замечание 1.

О последовательности (1) { [a_n, b_n] } говорят, что { [a_n, b_n] } – последовательность стягивающихся отрезков.

Замечание 2.

Если в условии теоремы отрезки заменить на промежутки другого типа, то сходимость последовательностей концов промежутков будет иметь место.

Второе утверждение теоремы может оказаться ложным.

Пример.

{(0, 1); (0, ); …; (0, ); …} имеет пустое пересечение.

§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема.

Любая ограниченная числовая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Дата добавления: 2015-10-30