Доказательство. 1. Необходимость.

1. Необходимость.

Пусть а= x_n. Рассмотрим последовательность { _n}={ x_n-а}.

а x_n для каждого >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │x_n-а│< │ _n│< 0= _n.

2. Достаточность.

Пусть дана последовательность { x_n} и для каждого n, n=1, 2, …: x_n=а+ _n, где { _n} – б.м.

Докажем, что а= x_n.

{ _n} – б.м. для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │ _n│< │ _n│=│x_n-а│< а= x_n.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

I Лемма 1.

Пусть { _n} б.м. Тогда для любого числа А : { _n} – б.м.

Доказательство.

1. А=0. Тогда для любого n, n=1, 2, …: А _n=0 _n=0 { _n} – б.м.

2. { _n} - б.м. для каждого >0, а значит для >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N:

│ _n│< │А│∙│ _n│=│А _n│< 0= _n { _n} б.м.

II Лемма 2.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей бесконечно мала.

Доказательство.

Пусть заданы две б.м. последовательности { _n} и { _n}. Рассмотрим последовательность { _n+ _n } и докажем, что она б.м.

{ _n} – б.м. для каждого >0, а значит и для >0 существует номер N₁ такой, что для любого номера n>N₁: │ _n│<

{ _n} – б.м. для каждого >0, а значит и для >0 существует номер N₂ такой, что для любого номера n>N₂: │ _n │< .

Тогда n>N=max{N₁, N₂}: │ _n+ _n│ │ _n │+│ _n │< = _n+ _n)=0

III Лемма 3.

Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность – б.м.

Доказательство.

Пусть { _n} – б.м., { _n} ограничена. Докажем, что { _n} – б.м.

Так как { _n} ограничена существует M>0 такое, что для любого n, n=1, 2, …: │ _n│ M.

Если положить А= -M, а В=M, то для любого n: А _n В

_n=0 для каждого >0, >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │ _n│< .

Тогда для любого номера n>N: │ _n∙ _n│=│ _n│∙│ _n│< ∙M= .

§3. Свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1.

Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. (от противного)

Пусть существует {x_n}, такая сходящаяся последовательность, для которой существуют два числа а и b, а<b, такие что

а= x_n, b= x_n, b>a.

так как a<b, то существуют непересекающиеся окрестности точек а и b.

a

 

X

Возьмём = (b-а)>0.

а= x_n для каждого >0, а значит и для = (b-а)>0 существует номер N₁ такой, что для любого n> N₁: │ x_n-а│< (b-а).

b= x_n для каждого >0, а значит и для = (b-а)>0 существует номер N₂ такой, что для любого номера n>N₂: │x_n-b│< (b-а).

Тогда для любого n>N=max{N₁, N₂} выполняются оба неравенства:

b- x_n<a+ b- a+ b-a<2 = (b-а), что невозможно.

Мы пришли к противоречию.

Теорема 2.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.

Дата добавления: 2015-10-30