Читайте также:
|
При определении отрицания предложениями и операций над предложениями важнейшим является согласование об истинности исходного предложения.
Таблица истинности.
| А | В | Ā | А V В | А Л В | А  В
|
| ист | ист | л | ист | ист | ист |
| ист | л | л | ист | л | л |
| л | ист | ист | ист | л | ист |
| л | л | ист | л | л | ист |
Недоумение может вызвать „ист” в нижнем правом углу таблицы. Дело в том, что предложение А 
В равносильно предложению 
А 
В.
Тогда если А – ложно, то 
- истинно и дизъюнкция В истинно.
Таким образом, импликация беззащитна против ввода неверных данных.
§2. Предикаты.
Рассмотрим следующие высказывания.
1) … больше 
.
2) ∘∘∘∘ 
‒ ‒ ‒ ‒
3) *** есть отец ~~~~
4) ∙∙∙∙∙∙∙ + ‒‒‒‒‒<*****
Это предикаты, своего рода заготовки для предложений.
Определение.
Предикатом называется высказывание, содержащее одно или несколько пустых мест и обращающиеся в предложение всякий раз, когда пустые места (переменные) замещены конкретными предметами, принадлежащими некоторым определённым классам объектов.
Пустые места будем обозначать буквами x, y, z, …, а сами предикаты буквами P, Q, R, ….
P(x) – предикат, содержащий одно переменное.
Q(x, y) – предикат, содержащий две переменные (два пустых места).
Примеры предикатов.
1. x> 
2. x 
3. z отец υ
4. x+y<ω
Над предикатами можно производить такие же действия, как и над предложениями.
В то же время в отличи от предложений предикаты не могут быть ни истинными, ни ложными.
§3. Кванторы.
Замещение пустых мест в предикате не единственный способ получения предложений.
Пусть P(x) 
x – певец мужского хора МИФИ.
Условимся замещать x – всеми мальчиками, присутствующими в аудитории на лекции.
Символ 
условимся читать как „каждый” или „любой”, или „все”, а символ 
- как „существует”, „найдётся” или „есть хоть один”.
Тогда 
P(x) – все присутствующие поют в хоре МИФИ.
x: P(x) – среди присутствующих есть хоть один, поющий в хоре МИФИ.
Определение.
Символы 
называются квантором общности и квантором существования соответственно.
Q(x, y) 
x прочитал y.
{y} – произведения де Сент-Экзюпери.
x – присутствующие в аудитории.
x 
: Q(x, y) (v)
: Q(x, y) (vv)
В математике в тех случаях, когда А В истинно, то говорят, что В является необходимым условием для А, а А – достаточным условием для В.
При построении отрицания предложения, полученного воздействием кванторов на предикат все объекты остаются на своих местах, каждый квантор общности 
яется на квантор существования 
, а каждый квантор существования заменяется на квантор общности 
и над предикатом ставится черта.
Примеры.
1. (А) ({xn} ограничена) ({xn} ограничена сверху) 
({xn} ограничена снизу) ( В n: xn 
В) ( А n: А xn)
() ({xn} неограниченна) ({xn} неограниченна сверху) 
({xn} неограниченно снизу) ( В n: xn>В) (
А n: А>xn)
2. (В) ({xn} монотонна) ({xn} убывает) ({xn} возрастает) (
: xn xn+1) (: xn xn+1)
(
) ({xn} не является монотонной) ({xn} неубывающая) ({xn} невозрастающая) (
: xń<xń+1) ( ň: xň>xň+1)
3. (С) ({xn} сходится) ( а: а= 
xn) ( а 
>0 N n>N: │xn - а│< 
)
(
) ({xn} расходится) ( а 
>0 N n: │xn - а│ 
)++++++++
4. (D) ({xn} б.м.) (0= xn) ( >0 N 
: │xn│< )
(
) ({xn} не является б.м.) ( >0 N 
: │xn│ )
§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
Теорема 1. (Для одной последовательности).
Пусть {xn} сходится и xn=а, и пусть В такое, что n, n=1, 2, …: xn В ( А : xn А).
Тогда а В (соответственно, А а).
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 155 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Доказательство. | | | Доказательство. |