Доказательство. f(х)= L 0, а значит и для =1>0 >0 х ( х Х, х

f(х)= L 0, а значит и для =1>0 >0 х ( х Х, х х_о, │x - х_о│< ): │f(х)- L│< =1 L-1<f(х)<L+1

а) Пусть х_о Х.

Положим A=min{L-1, f(х_o)},

B=max{L+1, f(х_o)}.

Тогда х (х_о х_о+ ) Х: А f(х) В.

б) х_о Х.

Положим Тогда х (х_о х_о+ ) Х: А f(х) В f(х) ограничена.

§4. Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х)= L.

Если число В (число А) и если окрестность (х_о х_о+ ) точки х_о такая, что х {(х_о , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х: f(х) В (соответственно, f(х) А), то и L В (соответственно, L А).

Следствие.

Если х Х: А f(х) В и L= f(х), то А L В.

Теорема 2.

Пусть функции f(х), g(х), h(х) имеют стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Если - окрестность (х_о х_о+ ) точки х_о ( >0) такая, что х {(х_о , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х: f(х) h(х) g(х) и f(х)= g(х)=L, то h(х)=L.

Теорема 3.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L₁= f₁(х), L₂= f₂(х), и - окрестность точки х_о (х_о х_о+ ) такая, что х {(х_о , х_о)} {(х_о, х_о+ )} Х: f₁(х) f₂(х), то L₁ L₂.

Теоремы 1, 2, 3 доказываются применением теорем главы 2 о предельном переходе в неравенствах для последовательностей значений заданных функций.

Докажем теорему 2.

f(х)= g(х)=L.

Возьмём произвольную последовательность {х_n} типа Гейне n: х_n Х, n: х_n х_о, х_n= х_о.

Так как х_n= х_о >0 _о n> _о: │х_n - х_о│< n> _о: х_n (х_о х_о+ ) и, следовательно, по условию f(х_n) h(х_n) g(х_n).

А так как f(х_n)= g(х_n)=L h(х_n)=L (по теореме о „жулике”).

Последовательность {х_n} типа Гейне была выбрана произвольной, то по определению предела функции в точке в смысле Гейне h(х)=L.

§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)

Определение.

Пусть функция f(х) имеет стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является правым (левым) концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) имеет в точке х_о предел слева (справа) равный L и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если

(Г)₁ {х_n} : (К)₁ 0 >0 х

(х Х, х_n<х_о (соотв. х_n>х_о), │x - х_о│< ):

f(х_n)=L │f(х)- L│<

Так же, как и для обычных пределов (Г)₁ и (К)₁ эквивалентны.

Односторонние пределы обладают такими же простейшими арифметическими свойствами - свойствами, связанными с неравенствами, что и обычные пределы (во всех случаях в доказательстве надо заменит х_n х_о неравенствами х_n< х_о (х_n>х_о) или х< х_о (соответственно х>х_о)

Теорема.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х и точка х_о лежит внутри или является концом одновременно двух смежных промежутков из Х, и пусть в точке х_о f(х) имеет равные односторонние пределы: f(х)= f(х)=L (1).

Тогда в точке х_о f(х) имеет предел, и он равен L.

Дата добавления: 2015-10-30