Доказательство. Дано: L является пределом функции f(х) в точке хо в смысле Коши.

1). (К) (Г).

Дано: L является пределом функции f(х) в точке х_о в смысле Коши.

Докажем, что число L является пределом функции f(х) в точке х_о и в смысле Гейне.

Возьмём произвольную последовательность {х_n}, удовлетворяющую условиям:

1. n: х_n Х

2. n: х_n х_о (последовательность типа Гейне)

3. х_n= х_о

И рассмотрим последовательность соответствующих значений функции f(х): {f(х_n)}.

х Х

Так как L=^(К) f(х) 0 >0 х х х_о: │f(х)- L│< .
│x - х_о│<

Возьмём произвольное 0 и возьмём ()>0, которое для >0 существует по определению Коши.

Так как х_n= х_о >0, а значит и для ()>0 N=N( ()) n>N: │x - х_о│< . Тогда │f(х_n)- L│< 0 N n>N: │f(х_n)- L│< f(х_n)=L так как {х_n} была выбрана произвольно: f(х)=^(Г)L.

2). (Г) .

Дано: L=^(Г) f(х).

Докажем, что L=^(К) f(х) 0 >0 х (х Х, х х_о, │x - х_о│< ): │f(х)- L│<

Пусть L^(К) f(х) _о>0 >0 х′ (х′ Х, х′ х_о, │x′ - х_о│< ): │f(х′)- L│ _о

Тогда для ₁=1>0 х₁′ (х₁′ Х, х₁′ х_о, │x₁′ - х_о│< ₁=1): │f(х₁′)- L│ _о

для ₂= >0 х₂′ (х₂′ Х, х₂′ х_о, │x₂′ - х_о│< ₂= ): │f(х₂′)- L│ _о

..........................................................................................................................................

для _n= >0 х_n′ (х_n′ Х, х_n′ х_о, │x_n′ - х_о│< _n= ): │f(х_n′)- L│ _о

…………………………………………………………………………………………………...

Мы построили последовательность {х′_n} такую, что:

1) n: х′ Х, 2) n: х′ х_о, 3) n: │x′_n - х_о│<

Покажем, что х_о )= (х_n+ )= х_о.

А тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх последовательностей: x′_n= х_о.

И для {f(х′_n)} │f(х_n′)- L│ _о f(х_n′) L.

Мы получили () () {х′_n} : │f(х_n′)- L│ _о

Следовательно, (Г) (К).

§3. Арифметические свойства пределов функций.

Теорема 1.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и L₁= f₁(х), L₂= f₂(х).

Тогда в точке х_о имеет предел и функция f₁(х)+ f₂(х) и он равен L₁+ L₂.

Теорема 2.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L₁= f₁(х), L₂= f₂(х).

Тогда функция f₁(х)· f₂(х) имеет в точке х_о предел f₁(х)· f₂(х) и он равен L₁· L₂.

Теорема 3.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L₁= f₁(х), L₂= f₂(х), L₂ 0.

Тогда частное двух функций в точке х_о имеет предел, он равен .

Доказательство всех трёх теорем проводится с использованием определения предела функции в точке х_о в смысле Гейне и арифметических свойств сходящихся последовательностей.

Дата добавления: 2015-10-30