Доказательство. 1.Необходимость.

1. Необходимость.

{x_n} сходится а 0 N n>N: │x_n - а│< .

Возьмём произвольное 0, зафиксируем его и проверим выполнение условия Коши.

{x_n} сходится а 0, а значит и для нашего фиксированного >0, N n>N: │x_n - а│< .

Возьмём произвольные n>N и m>N и рассмотрим │x_n - х_m│=│x_n -а+а - х_m│ │x_n - а│+│x_m - а│< + = , т.е. условие Коши выполнено.

2. Достаточность.

Пусть {x_n} удовлетворяет условию Коши 0 n>N, : │x_n - х_m│< .

Докажем, что {x_n} сходится.

{x_n} удовлетворяет условию Коши 0, а значит и для =1>0 N=N() n>N и m>N: │x_n - х_m│< .

Пусть m=N+1>N: │x_n - х_N+1│<1 n>N: x_N+1 -1<x_n<x_N+1+1 n>N+1: x_n (x_N+1 -1, x_N+1+1).

Вне этого интервала могут находится х₁, х₂, …, х_N.

Пусть А=min{х₁, х₂, …, х_N, x_N+1 -1}

B=max{х₁, х₂, …, х_N, x_N+1+1}

Тогда n, n=1, 2, …: x_n [А, В] {x_n} – ограничена, а тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса (§9) из {x_n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {x_nk}.

{x_nk} сходится а: а= x_nk.

Докажем, что а= x_n.

По условию Коши, 0, >0, N n>N m>N: │x_n - х_m│< .

Положим m=n_k k>N. Тогда x_nk - < x_n< x_nk+ .

Устремим k + . Тогда по теореме 1 §4 (предельный переход в неравенствах для одной последовательности) получаем а- x_n а+ │x_n - а│ < │x_n - а│< а= x_n.

Определение.

Последовательность {x_n}, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Из критерия Коши следует, что числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

§11. Число .

Рассмотрим последовательность {(1+ )ⁿ}.

Обозначим элемент этой последовательности y_n=(1+ )ⁿ.

Докажем, что {y_n} сходится. Для этого покажем, что она возрастает и ограничена сверху.

Используем формулу Бинома-Ньютона:

y_n= (1+ )ⁿ=1+n· + · +…+ · +…+ · = =1+1+ (1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )

y_n+1=1+1+ (1- )+…+ 1- )…(1- )+…+ 1- )…(1- )+ + (1- )… (1- )

1. {y_n} строго возрастает.

n, n=1, 2, …: y_n<y_n+1, так как каждое слагаемое увеличивалось, ибо > и, кроме того, прибавилось ещё одно положительное слагаемое (последнее).

2. {y_n} ограничено сверху.

Для доказательства заменим каждый множитель (1- ) единицей, ибо k n (k-1<n).

Используя неравенство k!=1·2·3·…·k 1·2·2·…·2=2^k-1, k=1, 2, …, получим

y_n<1+1+ + +…+ <1+1+ + +…+ <1+1+ + +…+ +…=1+ =1+2=3

Итак, n: y_n<3.

Тогда по теореме о сходимости ограниченной монотонной последовательности (§7) y_n= = sup {(1+ )ⁿ}.

2,7182848…

Глава 3. Функции.

§1. Понятие числовой функции числового аргумента.

Определение.

Пусть Х – непустое множество. Х .

Говорят, что на множестве Х задана функция, если указан закон, согласно которому каждому элементу х Х поставлено в соответствие число y.

Обозначается функция: y=f(х); х Х.

При этом множество Х называется областью определения функции, а множество Y={y; y=f(х), х Х } называется множеством значений функции y=f(х), х Х.

Примеры.

1. Х= {1, 2, …, n, …}

y_n=f(n), n=1, 2, … - числовая последовательность. – Это функция, областью определения которой является множество всех натуральных чисел.

2. Х= {1, 2, …, n, …}

f(n)=[a_n, b_n]

3. Х= { }, - фиксированный вектор в ³, ³.

()=[ ] – векторная функция векторного аргумента.

g()=(, ) – числовая функция векторного аргумента.

Дата добавления: 2015-10-30