|
Читайте также: |
Докажем основной случай.
Пусть {xn} неограниченна сверху и возрастает.
{xn} неограниченна сверху 
E>0 
: xN>E.
А так как {xn} возрастает, то 
: xn 
xn+1 
x1 x2 … xN xN+1 … xn … при n>N E>0 
N n>N: xn>E {xn} стремится к + 
.
Задача.
Доказать самостоятельно, что любая неограниченная снизу убывающая последовательность стремится к - .
§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
Пусть задана числовая последовательность { xn} 
={x1, x2, …, xn, …} (1)
Тогда можно образовать следующие последовательности:
{x1, x3, x5, …, x2k-1, …} nk=2k-1, k=1, 2, …
{x2, x4, …, x2k, …} nk=2k, k=1, 2, …
{x1, x4, x9, …, xk·k, …} nk= k2, k=1, 2, …
{x2, x3, x5, x6, …, xpk, …} nk=pk, k=1, 2, …
Определение.
Частичной последовательностью или подпоследовательностью последовательности (1)называется любая последовательность вида
{xn1, xn2, …, xnk, …}, в которой номера n1<n2<…<nk<… образуют строго возрастающую последовательность, при этом nk 
k, k=1, 2, …
Теорема 1.
Любая подпоследовательностьсходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел.
Доказательство.
Пусть {xn} сходится 
а 
0 N n>N: │xn-а│< 
и пусть { xn} 
- произвольная подпоследовательность последовательности {xn}.
Докажем, что 
xn=а.
Так как {nk} строго возрастает и 
: nk k, то по теореме §5 {nk} стремится к + 
0, а значит и для E=N>0 номер K такой, что k>K: nk>N 
>0 
>K: │xn-а│< а= 
xnk.
Теорема 2.
Любая подпоследовательность последовательности стремящейся к + (- 
(соответственно, к - ).
Доказательство.
Пусть {xn} стремится к + 
0 N n>N: xn>E.
Пусть {xnk} – произвольная подпоследовательность последовательности {xn}. Тогда по определению
nk=+ N>0 
>K: nk>N E>0 >K: xnk>E xnk=+ .
Задача.
Доказать самостоятельно теорему 2 в случае стремления последовательности к - .
Замечание.
Из сходимости некоторой подпоследовательности сходимостьисходной последовательности, вообще говоря, не вытекает.
Пример 1.
Последовательность {0, 0, …, 0, …} является подпоследовательностью последовательности {0, 1, 0, 2, …}. Она неограниченна.
Пример 2.
Последовательность {1, 0, 1, 0, …} (*) расходится, т.к. она имеет две подпоследовательности {0, 0, …, 0, …} nk=2k, k=1, 2, …, x2k=0
и {1, 1, …, 1, …} nk=2k-1, k=1, 2, …, x2k-1=1
и предположение о том, что (*) имеет предел приводит к противоречию с теоремой 1.
Возникает вопрос:
Сколько подпоследовательностей (произвольных, но фиксированных) имеет последовательность исходной?
Пусть 
- множество всех подпоследовательностей последовательности.
имеет мощность континуума.
Определение.
Число 
называется частичным пределом {xn}, если {xnk} – её подпоследовательность такая, что xnk= 
Рассмотрим множество M всех частичных пределов данной последовательности {xn}.
Возможны следующие варианты:
I. М 
.
1. М – ограничено inf M и sup M
Определение.
Нижним пределом {xn} называется 
= inf М.
Верхним пределом {xn} называется 
= sup М.
2. М –ограниченно снизу и неограниченно сверху.
Тогда по определению = inf М, а =+ .
3. М – ограниченно сверху и неограниченно снизу.
Тогда по определению = sup М, а = 
.
II. M= 
.
В этом случае у {xn} нет ни одной сходящейся подпоследовательности.
Например, {1, 2, 3, …, n, …}.
Тогда 1) если у последовательности {xn} существует подпоследовательность, стремящаяся к + , то =+ .
2) если у последовательности {xn}, существует подпоследовательность, стремящаяся к - , то = .
§7. Монотонные последовательности.
Теорема.
Любая монотонная ограниченная последовательность сходится.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 150 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Доказательство. | | | Доказательство. |