Доказательство. I. Рассмотрим произвольную последовательность {xn}, а= xn и пусть В n

I. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n}, а= x_n и пусть В n, n=1, 2, …: x_n В.

Предположим противное: а>В.

Так как x_n=а >0, а значит и для =а-В>0, N n>N: │x_n - а│<а-В -а+В+а<x_n<а-В+а В<x_n <2а-В

Мы пришли к противоречию с тем, что : x_n В.

II. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n}, а= x_n, для которой существует А такое, что : x_n А -x_n -А

Тогда для последовательности {-x_n} выполняется (-x_n)= -а и для каждого n, n=1, 2, …: -x_n -А. Согласно п. I -а -А .

Замечание.

Если в условиях теоремы 1 неравенство строгое, то в утверждении теоремы 1 следует сохранить нестрогие неравенства а В (соответственно, а А).

Пример.

{x_n}={ }. n: >0

Но =0.

Пусть {x_n} такова, что : А x_n В и x_n=а.

Тогда А а В.

Указанное свойство отрезка [А, В] называется свойством замкнутости, то есть если на отрезке располагается сходящаяся последовательность, то отрезок не выпустит за свои границы предел этой последовательности.

Интервал (А, В) таким свойством не обладает.

Следствие 2.

Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся, причём x_n=а, y_n=b и , n=1, 2, …: x_n y_n, то а b.

Доказательство.

Рассмотрим {y_n-x_n}. : y_n-x_n 0. Согласно теореме 3 §2 (y_n-x_n)=b-а, а согласно теореме 1 §4 b-а 0 а b.

Теорема 2. (о трёх последовательностях)

Пусть {x_n}, {y_n} и {z_n} таковы, что: 1) : x_n z_n y_n

2) x_n= y_n=а

Тогда {z_n} сходится и z_n=а.

Доказательство.

x_n=а 0 N₁ >N₁: │x_n - а│< а- <x_n<а+

y_n=а >0 N₂ >N₂: │y_n - а│< а- y_n<а+

Возьмём произвольной 0 и положим N=max{N₁, N₂}.

Тогда >N: >N: а- <x_n z_n y_n<а+ а- < z_n<а+

Следовательно, >N: │z_n - а│< z_n =а.

§5. Бесконечно большие последовательности.

(последовательности, стремящиеся к - , к + , к )

Определение.

Говорят, что числовая последовательность {x_n} стремится к + (к - ), если E>0 N n>N: x_n>E (соответственно, x_n<-E) и пишут x_n=+ (соответственно, x_n=- ).

Определение.

Говорят, что последовательность {x_n} стремится к , если >0 N n>N: │x_n│>E и пишут x_n= .

Замечание.

Общее название таких последовательностей – бесконечно большие.

Примеры.

1. {1, 2, …, n, …} стремится к +

2. {-1, -4, -9, …, -n², …} стремится к -

3. {2, 1, 4, 3, …, 2k, 2k-1, …} стремится к +

4. {1, -2, 3, -4, …, 2k-1, -2k, …} стремится к , но не стремится ни к + , ни к - .

Замечание.

Неограниченные последовательности, вообще говоря, не стремятся ни к + , ни к - , ни к …

Но тем не менее справедлива следующая теорема.

Теорема.

Любая неограниченная сверху (неограниченная снизу) возрастающая (соответственно, убывающая) последовательность стремится к + (соответственно, к - ).

Дата добавления: 2015-10-30