Утверждение 1.

Если последовательность {y_n} такова, что y_n=+ , то последовательность { }имеет смысл, и она бесконечно малая, то есть =0.

Утверждение 2.

Если последовательность{y_n} такова, что n: y_n>0 ( n: y_n<0) и y_n=0, то { } бесконечно большая, то есть (соответственно, )

Вернёмся к функции h(z).

Надо доказать, что h(z)=e, h(z)=e.

Возьмём произвольную последовательность {z_n} такую, что n: z_n>0 и n: х_n= и z_n=0 х_n=+ .

Рассмотрим последовательность соответствующих значений функции h(z): {h(z)}= { }={ }={g(х_n)}.

Но, следовательно, h(z_n)= g(х_n)=e h(z)=e.

Аналогично доказывается, что h(z)=e.

А тогда из равенства h(z)= h(z)=e по теореме §5 следует, что =e.

Глава 4. Непрерывность функции.

Определение непрерывной функции.

Примеры.

1. f(x)=x²+1,

X=(, + )

y

x

2. f(x) =

X=(, +

y

x

3. f(x)=x²+1,

X=(, 0 0, + )

y

x

4. f(x)=

X=(, +

y

x

5. f(x)=

X=(, +

y

x

-1

-1

Определение.

Говорят, что функция f(x) со стандартной областью определения X непрерывна в точке x_о, если

(1) x_о X

(2) f(x)

(3) f(x)= f(x_о)

Расшифровка определения непрерывности функции в точке.

I (1). x_о X, (2) - (3) в смысле Гейне

{х_n} n: х_n Х

х_n= х_о: f(x_n) = f(x_о)

II (1). x_о X, (2) – (3) в смысле Коши

0 >0 х (х Х, │x - х_о│< ): │f(х)- f(x_о)│<

III Зафиксируем точку x_о X и возьмём приращение (смещение) △x такое, чтобы x_о+△x X. Пусть x_о+h= x_о+△x=x h=△x=x- x_о = f(x_о+h)= f(x_о+△x)

(1) x_о X, (2) – (3) означает, что

0 >0 h (x_о+h Х, < ): │f(x_о+h) – f(x_о) │< f(x_о+△x)= f(x_о)

IV Зафиксируем x_о X и сместимся из точки x_о в точку x= x_о+ △x X, не покидая X.

Обозначим через △f=△f(x_о; △x)= f(x_о+△x) –f(x_о) – приращение функции, вызванное смещением △x из точки x_о.

(1) x_о X, (2) – (3): △f (x_о; △x)= △f(x_о; h)=0.

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке X.

Определение.

Точка x_о называется точкой разрыва функции f(x), если

либо x_о X, но является концом одновременно двух смежных промежутков из X;

либо x_о X, но f(x);

либо x_о X, f(x), но f(x) f(x_о).

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной, если она не имеет точек разрыва как принадлежащих X, так и не принадлежащих X.

Примеры.

1. f(x)= , X=(– , 0) (0, + ).

f(x) непрерывна на X, но x_о=0 – точка разрыва функции f(x).

2. f(x)= , X=(0, + )

f(x) непрерывна на X и f(x) непрерывная функция.

1) Докажем сначала, что f(x) непрерывна на X.

Возьмём произвольное x X и дадим ему приращение △x такое, чтобы x_о+△x X △f(x; △x)= – = = Но при △x 0

△f(x; △x)= 0 По расшифровке IV непрерывен в точке x непрерывен на (0, + )=X.

2) Но точек разрыва у нет, следовательно, f(x)= – непрерывная функция.

Дата добавления: 2015-10-30