Завдання до самоконтролю. Знайти границі функцій: 1

Знайти границі функцій:

1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.	10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17.   18.

Відповіді: 1) 0; 2) 1; 3) 1,8; 4) ; 5) 0,6; 6) –0,6; 7) ; 8) 0; 9) 1,6; 10) 3; 11) ; 12) 0,5;

13) 7; 14) 1,5; 15) 4/9; 16) е6; 17) е2; 18) е3.

Тема 6. Неперервність функції

Уявлення про неперервність функції інтуїтивно пов'язане у нас з тим, що її графіком є плавна лінія, що ніде не переривається. При розгляді графіка такої функції у = f(x) ми бачимо, що близьким значенням аргументу відповідають близькі значення функції: якщо незалежна змінна x наближається до точки x₀, то значення функції у = f(x) необмежено наближається до значення функції в точці x₀, тобто до f(x₀).

Дамо визначення безперервності функції. Отже, хай маємо функцію у = f(x).

Функція у=f(x) називається неперервною в точці x₀, якщо вона визначена в цій точці і в деякому околі, що містить x₀ та

Таким чином, можна сказати, що функція безперервна в точці x₀, якщо виконані 3 умови:

1) вона визначена в точці x₀ і в деякому його околі;

2) має границю при x ® x₀;

3) ця границя дорівнює значенню функції в точці x₀.

Формулу (1) можна записати у вигляді , оскільки . Це означає, що для того, щоб знайти границю безперервної функції при x® x₀, достатньо у вираз функції підставити замість аргументу x його значення x₀.

Приклад: Доведемо, що функція y = 3 x ² неперервна в довільній точці x₀. Для цього знайдемо .

Якщо функція y=f(x) неперервна в кожній точці деякого інтервалу (а; b), де а < b, то говорять, що функція неперервна на цьому інтервалі.

Неперервні функції мають наступні властивості.

Теорема 1. Якщо функції f(x) і g(x) безперервні в точці x₀, то їх сума φ(x)= f(x)+ g(x) також є неперервна функція в точці x₀.

Теорема 2. Добуток двох неперервних функцій є функція неперервна.

Теорема 3. Частка двох неперервних функцій є функція неперервна, якщо знаменник в даній точці не обертається в нуль.

Якщо функцію можна представити у вигляді у = f(u), де u = φ(x), тобто якщо функція у залежить від змінної х через проміжний аргумент u, то у називається складною функцією змінної x.

Приклади:

у = sinx³. Тут u = x³, у = sin u.

у = e^{tg x}, u = tg x, у = e^u.

Таким чином, під терміном "складна функція" треба розуміти не будь-який дуже складний вираз, а функцію, яка залежить від аргументу x через декілька проміжних функцій.

Теорема 4. Якщо функція u = φ(x) неперервна в точці x₀ і приймає в цій точці значення u₀ = φ(x₀), а функція f(u) неперервна в точці u₀, то складна функція y = f(φ(x)) неперервна в точці x₀.

Використовуючи ці теореми можна довести наступний результат.

Теорема 5. Будь-яка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.

Зазначимо, що якщо функція у = f(x) неперервна в точці x₀ і її значення в цій точці відмінне від 0 (f(x₀) ≠ 0), то значення функції f(x) в деякому околі точки x₀ мають той самий знак, що і f(x₀), тобто якщо f(x₀) > 0, то знайдеться таке δ > 0, що на інтервалі (x₀ – δ; x₀+ δ) f(x) > 0 (у цьому околі значення функції f(x) дуже мало відрізняються від своєї границі).

Точки розриву і їх класифікація

Якщо розглянути графік функції у околиці точки x= 0 (див. рис. справа), то ясно видно, що він як би “розривається” на окремі криві. Аналогічно можна розглянути функцію, зображену на рисунку зліва в околі точки 2. Говорять, що у всіх вказаних точках відповідні функції стають розривними.

Точка x₀ називається точкою розриву функції у = f(x), якщо вона належить області визначення функції або її границі і не є точкою неперервності.

В цьому випадку говорять, що при x= x₀ функція розривна. Це може відбутися, якщо в точці x₀ функція не визначена або не існує межа , або якщо межа існує, але .

Приклади.

Розглянемо функцію:

Ця функція визначена в усіх точках відрізка [0, 4] і її значення при x= 3 дорівнює 0. Проте, в точці x= 3 функція має розрив, оскільки вона не має границі при x=3:

Слід зазначити, що f(x) неперервна у всій решті точок відрізка [0, 4]. При цьому в точці x= 0 вона неперервна справа, а в точці x= 4 – зліва, оскільки

.

Як вже наголошувалося, функція розривна при x = 0. Дійсно, при x = 0 функцію не визначено: .

Функція розривна при x = 0. Дійсно, . При x = 0 функцію не визначено.

Функція визначена для всіх значень x, окрім x = 0. У цій точці вона має розрив, оскільки границя не існує.

Точки розриву функції можна розбити на два типи.

Точка розриву x₀ функції f(x) називається точкою розриву першого роду, якщо існують обидві односторонні кінцеві границі і , але вони не рівні між собою або не рівні значенню функції в точці x₀, тобто f(x₀). Точка розриву, що не є точкою розриву першого роду, називається точкою розриву другого роду.

Приклади:

У першому прикладі точка х=3 є точкою розриву першого роду. У прикладах 2 – 4 всі точки розриву є точками розриву другого роду.

Для функції, зображеної на малюнку точка x = 2 є точкою розриву першого роду.

Функція не визначена в точці x = 0. Ця точка є точкою розриву 1-го роду, оскільки в ній існують межі справа і зліва.

Завдання до самоконтролю.

1. Визначити точки розриву, якщо вони існують:

а) б) в)

2. Визначити вид розриву функції у вказаних крапках:

а) при х=2 б) при х=0

Відповіді: 1а) х=-4, другого роду; б) х=-1, другого роду; у) х1=1, х2=-2, другого роду.

2а) точка розриву першого роду; б) точка розриву першого роду.

Тема 7. Похідна функції

Похідною даної функції у = f(x) в точці x₀ називається границя відношення приросту функції Δy до приросту аргументу Δx, коли останнє довільним чином прагне до нуля. Помітимо, що для однієї і тієї ж функції похідна в різних точках x може приймати різні значення, тобто похідну можна розглядати як функцію аргументу x. Ця функція позначається f '(x)

Конкретне значення похідної при x = а позначається f '(a) або у'|_x=a. Операція знаходження похідної від функції f(x) називається диференціюванням цієї функції.

Для безпосереднього знаходження похідної за визначенням можна застосувати наступне практичне правило:

1. Додати x приріст Δx і знайти нарощене значення функції f(x + Δx).

2. Знайти приріст функції Δy = f(x + Δx) – f(x).

3. Скласти відношення та знайти границю цього відношення при Δx ® 0.

Приклади.

Знайти похідну функції у = x²

а) у довільній точці;

б) у точці x= 2.

Розв’язання.

а) f(x + Δx) = (x + Δx) ²;

Δy = (x + Δx)² – x²=2xΔx– x ²;

.

б) f '(2) = 4

Основні правила диференціювання

Застосовуючи загальний спосіб знаходження похідної за допомогою границі можна одержати прості формули диференціювання. Нехай u=u(x), v=v(x) – дві функції від змінної x., що диференціюються,

1.

2..

3.

4. .

5. .

6. а) .

б) .

Дата добавления: 2015-07-12