Теорема

Если функции x(t), y(t) дифференцируем ы в точке t, а z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), где x=x(t), y=y(t) то сложная функция z=f(x(t), y(t)) также дифференцируема в точке t, причем

(0)

в этой точке.

Доказательство

Пусть приращению Dt переменной t в данной точке t соответствует приращения Dx и Dy переменных х и у:

Dx=x(t+Dt)-x(t) (1)

Dy=y(t+Dt)-y(t)

Приращениям Dx и Dy переменных х и у соответствует приращение функции Dz: Dz= f (x+Dx, y+Dy)- f (x,y)

Т. к. эта функция дифференцируема в точке (x,y), где x=x(t), y=y(t), то

Dz= (x,y)Dx+ (x,y)Dy+a₁ Dx+a₂Dy, (2)

Где: a₁ и a₂ -бесконечно малые при Dx

Разделим на Dt

(3)

Перейдем к пределу при Dt

По условию x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, т. е.

А если x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке, а значит если Dt , то Dx и как следует a₁. , a₂

Таким образом при Dt существует предел выражения, стоящего в правой части равенства (3), а следовательно существует

Причем

Или

Дата добавления: 2015-08-13