Понятие предела функции двух и более переменных

Рассмотрим последовательность точек М₁(х₁, у₁,),М2(х2, у2),…, М_п (х_п,у_п),… плоскости ХОY. Будем говорить, что эта последовательность точек схо­дится к точке М₀(х₀, у₀), если расстояние

стремится к нулю при п→∞¹).

Совокупность точек плоскости, находящихся от точки М₀ на расстоя­нии, меньшем δ,т.е. внутренность круга с центром М₀ радиуса δ называется δ -окрестностью точки М₀.

Таким образом, последовательность точек М₁, М₂,…, Мп,… плоскости на­зывается сходящейся к точке М₀, если в любой окрестности точки М₀ лежат все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Обобщая данное ранее определение предела функции одной перемен­ной с помощью предела числовой последовательности, дадим определение предела функции двух переменных.

Пусть функция z = f (х, у) задана в некоторой окрестности точки М₀, кроме, быть может, самой этой точки.

Если для любой последовательности точек М₁(х₁, у₁,),М₂(х₂, у₂),…, М_п(х_п,у_п),… этой окрестности, сходящейся к точке М₀ (х₀, у₀), соответст­вую­щая по­следовательность значений функции f₁ (х₁, у₁), f₂ (х₂, у₂), …, f (х_п, у_п),… имеет пределом одно и то же число А, то это число А называют пре­делом функ­ции f (х, у) при х→х₀, у→у₀ и пишут:

Или, что то же, если 1)

Так, например, функция f (х, у) = х² + у² определена во всей плоско­сти. Рассмотрим точку М₀ (1,2). Для любой последовательности точек (х₁, у₁), (х₂, у₂),…, (х_п, у_п),…, сходящейся к этой точке М₀, имеем:

следовательно,

Геометрически тот факт, что число А является пределом функции f(х,у) при х→х₀, у→у₀, означает, что, какова бы ни была последователь­ность точек плоскости М₁, М₂,…, М_п,…, неограниченно приближающихся к точке М₀, последовательность аппликат соответствующих им точек по­верхности, изображающей функцию z = f (х, у), имеет пределом число А. При этом в самой точке М₀ функция может быть не определена, а может быть опреде­лена и имеет любое значение, как равное А, так и отличное от него. Пре­дел функции z = f (х, у) при х→х₀, у→у₀ определяется поведе­нием функции вблизи точки (х₀, у₀) и не зависит от значения функции в са­мой этой точке.

В рассмотренном выше примере мы имели:

f (х, у) = х²+ у²,

для функции же φ(х, у), определяемой равенствами

φ(1, 2)=7, тогда как предел функции φ(х, у) при х →1, у →2 равен пределу функции f(x, y).

Приведем теперь пример функции, не имеющей предела при х→х₀, у→у₀.

Функция, определена всюду, кроме начала координат, при х→ 0, у→ 0

предела не имеет, так как, выбирая две сходящихся к точке О (0,0) последователь­ность точек (х ₁, 0) (х ₂, 0), …, (х_п, 0), … и (0, у ₁), (0, у ₂), …, (0, у_п), …, получим

Так же как для функции одной переменной, можно показать, что дан­ное выше определение предела функции двух переменных эквивалентно следующему определению предела: число А называется пределом функции f(x, y) при х→х₀, у→у_0, если для любого положительного числа ε сущест­вует число δ, δ>0, такое, что для всех точек (х,у), отличных от точки

(х₀,у₀) и удовлетворяющих условию выполнено нера­венство

Геометрически это значит, что, каково бы ни было число ε>0, найдется столь малая δ-окрестность точки М₀(х₀, у₀), что во всех ее точках М(х, у), отличных от М₀, аппликаты соответствующих точек поверхности, изобра­жающей функцию z=f(x, y), отличаются от числа А по абсолютной вели­чине меньше, чем на ε.

Величина δ зависит от ε и при ε, стремящимся к нулю, δ, вообще го­воря, также стремится к нулю.

Будем называть функцию f(x, y) бесконечно малой при х→х_0, у→у₀, если

Пользуясь любым из определений предела функции двух перемен­ных, можно вывести основные свойства бесконечно малых функций, дать понятие порядка, эквивалентности бесконечно малых; доказать теорему о том, что разность между функцией, имеющей предел и ее пределом есть бесконечно малая функция; доказать основные теоремы об арифметиче­ских операциях над пределами. Доказательства этих теорем аналогичны соответствующим доказательствам для функций одной переменной.

Не останавливаясь на понятиях бесконечного предела функции двух переменных, отметим, что в дальнейшем, говоря о пределах, мы бу­дем иметь в виду конечный предел.

Данные выше определения без труда обобщаются на функции трех и более переменных, теряется лишь их геометрическая наглядность.

Так, например, δ– окрестностью точки (х ₀, у ₀, z _0, …, ω₀) п- мерного про­странства называется совокупностью точек (х, у, z, ω), находящихся от точки (х ₀, у ₀, z ₀, ω ₀ ) на расстоянии, меньшем δ.

В случае п= 3 δ- окрестность точки (х ₀, у ₀, z ₀ ) представляет собой внутрен­ность шара радиуса δ с центром в этой точке.

Для функции f(x, y, z, …, ω), определенной в некоторой окрестности точки (x ₀, y ₀, z ₀, …, ω ₀ ) (кроме, быть может, этой точке), можно дать, например, следующее определение предела. Число А называется пределом функции f(x, y, z, …, ω) при х→х ₀, у→у ₀, z→z ₀, …, ω→ω ₀, если для любого числа ε>0 существует число δ>0, такое, что, для всех точек (x, y, z, …, ω) указанной окрестности, отличных от точки (x ₀, y ₀, z ₀, …, ω ₀ ) удовлетворяющих условию

выполнено неравенство

§ 3. Непрерывность функций нескольких переменных

Функция z=f(x, y), определенная в некоторой окрестности точки (x₀,y₀), называется непрерывной в этой точке, если

Геометрически это означает, что при приближении точки М(x, y) по любой последовательности точек к точке М ₀ (х ₀, у ₀ ) аппликаты соответ­ст­вующих точек поверхности, изображающей функцию z=f(x, y), стре­мятся к аппликате поверхности в точке М ₀.

В дальнейшем нам часто придется пользоваться следующим эквива­лентным данному выше определением непрерывности функции: функция f(x, y) называется непрерывной в точке (х ₀, у ₀ ), если для любого положи­тельного числа ε существует число δ>0, такое, что для всех точек (х, у), удовлетворяющих условию , выполнено неравен­ство

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что для функций двух переменных сумма и произведение двух непрерывных функций есть непрерывная функция; частное двух не­прерывных функций есть непрерывная функция в точках, в которых зна­менатель отличен от нуля; сложная функция, составленная из нескольких непрерывных функций, есть непрерывная функция и т. д.

Например, функции f(x, y)=x²+y², φ(x, y)=e^x+y, F(x, y)=sin(x³y³+x-y+1) непрерывны всюду, функция R(x, y)=(x²+y²-1)/(x-y) непрерывна, всюду кроме точек прямой х=у, и т. д.

Если функция f(x, y) определена в окрестности точки М ₀ (х ₀, у ₀ ) (кроме, может быть, самой точки М ₀) и не являются непрерывной в этой точке, будем называть ее разрывной в точке М ₀.

Например:

1) функция разрывна в точке (0, 0), так как она определена всюду, кроме этой точки

2) функция

будет разрывна в точке (0, 0), так как не существует предела этой функции при х→ 0, у→ 0;

3) функция

в точке (1, 2) разрывна, так как

Ранее мы рассматривали свойства функций, непрерывных на от­резках (теоремы об ограничениях функции, о достижении наибольших и наи­меньших значений и т. д.). Аналогичные свойства имеют место для непре­рывных функций двух переменных, если их рассматривать в так на­зывае­мых замкнутых ограниченных областях, являющихся двухмерным анало­гом отрезка. Для того чтобы сформулировать эти свойства, введем ряд оп­ределений для множества точек плоскости ХОY.

Рисунок 10

Множество точек плоскости называется связным, если любые две точки этого множества соединить непрерывной кривой, состоящей из то­чек того же множества.

4) связным будет множество точек внутри круга, множество точек любой дуги l эллипса, множества точек кольца 1≤ х ²+ у ²≤4 (рис. 10) и т. д.

Рисунок 11

5) Множество точек, состоящее из трех отдельных точек, не будет связным. Несвязным будет также множество точек, принадлежащих двум кругам: х ²+ у ²≤1 и (х- 2,3)²+ у ²≤1 (рис. 11) и т. д.

Точка М называется внутренней точкой некоторого множества, если существует окрестность этой точки, состоящая из точек данного множе­ства.

Рисунок 12 Рисунок 13 Рисунок 14

Множество, каждая точка которого – внутренняя, называется откры­тым множеством.

6) Открытыми будут множества всех точек, лежащих внутри круга, внутри двух непересекающихся кругов (рис. 12). Откры­тым будет множе­ство всех точек плоскости, лежащих вправо от оси OY (рис.13).

Множество точек прямоугольника -1≤ х ≤1, -2≤ у ≤2 открытым не будет, так как принадлежащие ему точки прямых х =±1, у =±2 не яв­ляются внут­ренними (рис. 13).

Связное открытое множество точек плоскости называется обла­стью. Примеры областей: множества точек, лежащих внутри круга, пря­моугольника, множество точек кольца 1< х² + у²< 4, множество точек (х,у) плоскости, для которых х> 0, у> 0 (рис.13).

Точка М называется граничной точкой области, если в любой ее ок­рестности есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области. Совокупность всех граничных точек области называется ее гра­ницей. Так, например, для области, состоящей из точек, лежащих внутри эллипса, границей будет сам эллипс.

Рисунок 15

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬ­КИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Дата добавления: 2015-08-13