Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Правило определения экстремума функции двух независимых переменных

Читайте также:
  1. Amp; Правило
  2. C - матрица (по форме напоминает куб) применяется для определения взаимосвязи элементов трех списков одновременно.
  3. I ОПРЕДЕЛЕНИЯ
  4. II. Задачи и функции бухгалтерской службы (отдела)
  5. II. Определения
  6. II. Основные функции отделения Фонда
  7. II. Порядок разработки и определения технологических сроков

Чтобы определить экстремум функции z=f(x,y), двух независимых переменных следует:

1) Определить стационарные точки, в которых функция может достигать экстремума, для чего надо решить систему уравнений

∂z/∂x = 0; ∂z/∂y = 0.

2) Определить вторые частные производные

2z/∂x2, ∂2z/∂x∂y, ∂2z/∂y2.

3) Вычислить значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, а полученные числа обозначить соответственно через A, B и C.

4) Составить выражение D = AC-B2. При этом,

а) если D>0, то экстремум в стационарной точке есть: если А>0, то будет минимум, а при А<0 – максимум;

б) если D<0, то экстремума в рассматриваемой стационарной точке нет;

в) если D=0, то имеет место сомнительный случай, и для заключения об экстремуме надо привлечь к рассмотрению частные производные порядка выше второго.

 

Пример 1. Найти экстремум функции

f(x,y) = xy(1– x- y)

f ′x(x,y) = y(1- 2x -y)

f ′y(x,y) = x(1– x - 2y)

Определим критические точки, решим систему:

M1(0,0), M2(0,1), M3(1,0), M1(1/3,1/3)

f′′xx(x,y) = -2y

f ′′xy(x,y) =1-2x-2y

f ′′yy(x,y) = -2x

D(x,y) = 4xy-(1-2x-2y)2

Подставим критические точки M1, M2, M3, M4 в D(x,y)

Значит, в точках M1, M2, M3 экстремумов нет.

D(1/3,1/3) = 1/9 > 0 Значит в точке M4 экстремум функции.

Т.к. f ′′xx(1/3,1/3) < 0, то точка M4 – точка максимума, и тогда

Zmax = f(1/3,1/3) =1/9(1-1/3-1/3) = 1/27

 

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

z=2x3+2y3-36xy+430

Решение. Прежде всего определяем ∂z/∂x и ∂z/∂y:

∂z/∂x = 6x2- 36y; ∂z/∂y = 6y2- 36x. (2)

Решим систему уравнений (3)

Которая в нашем случае запишется так

После сокращения на шесть имеем (4)

Из первого уравнения y = x2/6.

Подставляя его во второе уравнение, получим x4/36 - 6x = 0, или

x4 - 216x = 0, которое перепишем так: x(x3 - 216) = 0.

Разлагая на множители выражение в скобках, получим уравнение

x(x - 6)(x2 + 6x + 36) = 0.

Отсюда следует, что х1 = 0; х2 = 6, а остальные два корня – комплексные, которые нас не интересуют (это корни уравнения

x2 + 6x + 36 = 0).

Подставляя эти значения х в равенство y = x4/6, получаем, что

y1 = 0; y2 = 6.

Итак, есть две пары решений системы уравнений (4):

1) x1 = 0; y1 = 0 2) x2 = 6; y2 = 6.

Теперь определим число D, для чего найдем

2z/∂x2, ∂2z/∂x∂y, ∂2z/∂y2.

Из (2) получаем, что

2z/∂x2 =12x; ∂2z/∂x∂y = -36; ∂2z/∂y2 =12y.

Подставим теперь сюда сначала первую пару решений, а потом вторую и определим числа A, B, C и D.

Для первой пары решений:

A= =0; B= =-36; C= =72.

Теперь число D = AC - B2 = 72∙72 - 362 = 3888, и так как оно положительно, то экстремум при значениях х = 6; y = 6 есть. Учитывая, что А -число положительное, заключаем, что при этих значениях х и y имеет место минимум. Чтобы определить минимальное значение функции, подставим в нее х = 6; y = 6 и получим Zmin= -2

 

Замечание 1

Из D>0 следует, что AC - B2 >0, AC> B2, т.е. AC>0, а это означает, что A и С в случае, когда функция имеет экстремум, имеют один и тот же знак.

При решении этого примера читатель усмотрел, что не все значения независимых переменных, которые получаются при решениях системы (1), доставляют функции экстремум. Так, значения х=0 и y=0, хотя и являются решением системы (4), но при них функция не имеет ни максимума, ни минимума (экстремума нет).

 

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

z =14x3 + 27xy2 - 69x - 54y

Решеение. находим прежде всего ∂z/∂x и ∂z/∂y:

∂z/∂x = 42x2 + 27y2 - 69; ∂z/∂y = 54xy - 54. (5)

Решим систему уравнений

После очевидных сокращений эта система запишется так

решая эту систему, получим четыре пары решений, при которых исследуемая функция может иметь экстремум.

Первая пара: x1 = 1; y1 = 1; вторая пара: x2 = 3/ ;

y2 = /3; третья пара: x3 = -1; y3 = -1; четвертая пара: x4= -3/ ; y4 =- /3.

Теперь определим, какие именно из этих значений доставляют функции экстремум.

Определим из (5) вторые частные производные

2z/∂x2 = 84x; ∂2z/∂x∂y = 54y; ∂2z/∂y2 = 54x.

Для каждой пары значений определим числа А, В и С и число D.

1. Для x1=1; y1=1 имеем

A= =84; B= =54; C= =54.

Число D = AC - B2 = 84∙54 - 542 > 0.

Экстремум есть, а т.к. А>0, то имеет место минимум

Zmin = 14∙1 + 27∙1∙1 – 69 – 54 = -82

2. для x2 = 3/ ; y2 = /3

A= =254/ ; B= =18 ; C= =162/ ;

D = AC-B2 = 252/

И при x = 3/ ; y = /3 экстремума нет.

3. Для x3 = -1; y3 = -1

A = -84; B =- 54; C = -54;

D = AC - B2 = (-84)(-54) - (-54)2 > 0.

Экстремум есть, и именно максимум, т.к. A = -84 < 0;

Zmax = -14 – 27 + 69 + 54 = 82

4. Для x4 = -3/ ; y4 = - /3 имеем

A = -252/ ; B = -18 ; C = -162/ ;

D = AC - B2 =

Экстремума при значениях х= x4 и y=y4 нет.

 


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 380 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие предела функции двух и более переменных | Частные производные | Дифференцируемость функции нескольких переменных | Необходимые условия дифференцируемости | Достаточные условия дифференцируемости. | Дифференциал | Замечание 2 | Функции двух переменных. | Замечание | Теорема |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Экстремумы функций нескольких переменных| Отыскание наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных в замкнутой области.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)