Правило определения экстремума функции двух независимых переменных

Чтобы определить экстремум функции z=f(x,y), двух независимых переменных следует:

1) Определить стационарные точки, в которых функция может достигать экстремума, для чего надо решить систему уравнений

∂z/∂x = 0; ∂z/∂y = 0.

2) Определить вторые частные производные

∂²z/∂x², ∂²z/∂x∂y, ∂²z/∂y².

3) Вычислить значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, а полученные числа обозначить соответственно через A, B и C.

4) Составить выражение D = AC-B². При этом,

а) если D>0, то экстремум в стационарной точке есть: если А>0, то будет минимум, а при А<0 – максимум;

б) если D<0, то экстремума в рассматриваемой стационарной точке нет;

в) если D=0, то имеет место сомнительный случай, и для заключения об экстремуме надо привлечь к рассмотрению частные производные порядка выше второго.

Пример 1. Найти экстремум функции

f(x,y) = xy(1– x- y)

f ′_x(x,y) = y(1- 2x -y)

f ′_y(x,y) = x(1– x - 2y)

Определим критические точки, решим систему:

M₁(0,0), M₂(0,1), M₃(1,0), M₁(1/3,1/3)

f′′_xx(x,y) = -2y

f ′′_xy(x,y) =1-2x-2y

f ′′_yy(x,y) = -2x

D(x,y) = 4xy-(1-2x-2y)²

Подставим критические точки M₁, M₂, M₃, M₄ в D(x,y)

Значит, в точках M₁, M₂, M₃ экстремумов нет.

D(1/3,1/3) = 1/9 > 0 Значит в точке M₄ экстремум функции.

Т.к. f ′′_xx(1/3,1/3) < 0, то точка M₄ – точка максимума, и тогда

Z_max = f(1/3,1/3) =1/9(1-1/3-1/3) = 1/27

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

z=2x³+2y³-36xy+430

Решение. Прежде всего определяем ∂z/∂x и ∂z/∂y:

∂z/∂x = 6x²- 36y; ∂z/∂y = 6y²- 36x. (2)

Решим систему уравнений (3)

Которая в нашем случае запишется так

После сокращения на шесть имеем (4)

Из первого уравнения y = x²/6.

Подставляя его во второе уравнение, получим x⁴/36 - 6x = 0, или

x⁴ - 216x = 0, которое перепишем так: x(x³ - 216) = 0.

Разлагая на множители выражение в скобках, получим уравнение

x(x - 6)(x² + 6x + 36) = 0.

Отсюда следует, что х₁ = 0; х₂ = 6, а остальные два корня – комплексные, которые нас не интересуют (это корни уравнения

x² + 6x + 36 = 0).

Подставляя эти значения х в равенство y = x⁴/6, получаем, что

y₁ = 0; y₂ = 6.

Итак, есть две пары решений системы уравнений (4):

1) x₁ = 0; y₁ = 0 2) x₂ = 6; y₂ = 6.

Теперь определим число D, для чего найдем

∂²z/∂x², ∂²z/∂x∂y, ∂²z/∂y².

Из (2) получаем, что

∂²z/∂x² =12x; ∂²z/∂x∂y = -36; ∂²z/∂y² =12y.

Подставим теперь сюда сначала первую пару решений, а потом вторую и определим числа A, B, C и D.

Для первой пары решений:

A= =0; B= =-36; C= =72.

Теперь число D = AC - B² = 72∙72 - 36² = 3888, и так как оно положительно, то экстремум при значениях х = 6; y = 6 есть. Учитывая, что А -число положительное, заключаем, что при этих значениях х и y имеет место минимум. Чтобы определить минимальное значение функции, подставим в нее х = 6; y = 6 и получим Z_min= -2

Замечание 1

Из D>0 следует, что AC - B² >0, AC> B², т.е. AC>0, а это означает, что A и С в случае, когда функция имеет экстремум, имеют один и тот же знак.

При решении этого примера читатель усмотрел, что не все значения независимых переменных, которые получаются при решениях системы (1), доставляют функции экстремум. Так, значения х=0 и y=0, хотя и являются решением системы (4), но при них функция не имеет ни максимума, ни минимума (экстремума нет).

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

z =14x³ + 27xy² - 69x - 54y

Решеение. находим прежде всего ∂z/∂x и ∂z/∂y:

∂z/∂x = 42x² + 27y² - 69; ∂z/∂y = 54xy - 54. (5)

Решим систему уравнений

После очевидных сокращений эта система запишется так

решая эту систему, получим четыре пары решений, при которых исследуемая функция может иметь экстремум.

Первая пара: x₁ = 1; y₁ = 1; вторая пара: x₂ = 3/ ;

y₂ = /3; третья пара: x₃ = -1; y₃ = -1; четвертая пара: x₄= -3/ ; y₄ =- /3.

Теперь определим, какие именно из этих значений доставляют функции экстремум.

Определим из (5) вторые частные производные

∂²z/∂x² = 84x; ∂²z/∂x∂y = 54y; ∂²z/∂y² = 54x.

Для каждой пары значений определим числа А, В и С и число D.

1. Для x₁=1; y₁=1 имеем

A= =84; B= =54; C= =54.

Число D = AC - B² = 84∙54 - 54² > 0.

Экстремум есть, а т.к. А>0, то имеет место минимум

Z_min = 14∙1 + 27∙1∙1 – 69 – 54 = -82

2. для x₂ = 3/ ; y₂ = /3

A= =254/ ; B= =18 ; C= =162/ ;

D = AC-B² = 252/

И при x = 3/ ; y = /3 экстремума нет.

3. Для x₃ = -1; y₃ = -1

A = -84; B =- 54; C = -54;

D = AC - B² = (-84)(-54) - (-54)² > 0.

Экстремум есть, и именно максимум, т.к. A = -84 < 0;

Z_max = -14 – 27 + 69 + 54 = 82

4. Для x₄ = -3/ ; y₄ = - /3 имеем

A = -252/ ; B = -18 ; C = -162/ ;

D = AC - B² =

Экстремума при значениях х= x_{4 и} y=y₄ нет.

Дата добавления: 2015-08-13