Необходимые условия дифференцируемости

Теорема 1. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х,у), то, как следует из соотношения (1),, а это значит, что функция

f(x,y) непрерывна в тоске (х,у).

Теорема 2. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), то она имеет в этой точке частные производные f′_х(x,y) и f′_у(x,y).

Доказательство. Так как функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), то для любых Δ x и Δ y (не выходящих за пределы рассматриваемой окрестности) имеет место соотношение (1). Полагая в нем Δ y =0, имеем Δ xz=А(х,у) Δ x +α₁Δ x, где α₁ – бесконечно малая при Δx→0, получаем:

Следовательно, в точке (х,у) существует частная производная f′_х(x,y) и f′_х(x,y) = А(х,у).

Аналогично доказывается, что в точке (х,у) существует частная про­изводная f′_х(x,y) и f′_х(x,y) = В(х,у).

Обратные утверждения к теоремам 1 и 2 неверны. Из непрерывности функции двух переменных в точке, а также из существования ее частных производных в этой точке не следует дифференцируемость функции.

Для того чтобы функция двух переменных была дифференцируема в дан­ной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной, надо нало-

жить более жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке.

Дата добавления: 2015-08-13