Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Частные производные

Читайте также:
  1. II. Производные индола
  2. ВАЖНЕЙШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ СИ
  3. Год госклиники частные
  4. Дополнительные и частные программы финансирования искусства
  5. И в другие несчастные случаи.
  6. КАЗЕННЫЕ И ЧАСТНЫЕ УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ.
  7. Лучшие специалисты уходят в частные фирмы

Пусть в некоторой (открытой) области задана функция двух перемен­ных z=f(x, y). Возьмем произвольную М(х, у) этой области и дадим х при­ращение Δ х, оставляя значение у неиз­менным. При этом функция f(x, y) полу­чит приращение Δ xz=f(x+ Δ x,y)-f(x,y). Оно называется частным при­ращением этой функции по х (рис 15)

 
 

Отношение

дает среднюю скорость измене­ния функ­ции z=f(x, y) по пере­менной х на участке от точки М(х,у) до точки М'(х+ Δ х,у). Рисунок 16

Пре­дел этого отношения при Δх→0, если он существует и конечен, назы­вается частной производной функции z=f(x,y) по переменной х в точке (х,у). Этот предел характеризует скорость изменения данной функции по х в самой точке М. Частную производную по х от функции z=f(x,y) обознача-

 
 


ют следующими символами:

 
 


Таким образом,

 

Аналогично, считая х постоянной и давая у приращение Δ у, мы полу­чим частное приращение функции z = f(х, у) по у:

Δ yz=f(x,y + Δ y) – f(x,y) (рис. 17)

 

Предел отношения частного приращения функции по у к прираще­нию Δу при стремлении последнего к нулю (если он существует и коне­чен) на­зывается частной производной этой функции по у в точке (х, у).

Частная производная функции z=f(х, у) по у обозначается обычно од­ним из следующих символов:

 
 

 

 


Таким образом,

 
 

Эта частная производная численно равна скорости изменения по у функции z=f(х,у) в точке М(х,у).

Значения частных производных f'х(х,у) и f'у(х,у), естественно, зави­сят от координат х, у рас­смат­риваемой точки М, т.е. ча­стные производные f'х(х,у) и f'у(х,у), в свою очередь, являются функциями двух переменных, определенными в заданной об­ласти или ее части (если не во

всех точках этой области суще­ст­ вуют частные производные).

 

Рисунок 17

Вычисление частных производных по х (по у) от конкретных функций производится по известным для функций одной переменной пра­вилам, так как частная производная функция z = f(х, у) по х ( по у) есть по опреде­лению обыкновенная производная функции z = f(х, у), рассматривае­мой как функция одной перемен­ной х (соответственно у) при по­стоянном зна­чении другой пере­менной.

Например, для функции

f(х, у) = х² + ху² + у³ в любой точке (х, у) имеем f'х(х, у)= 2 х+ у², f'у(х,у) = 2 ху + 3 у². В частности, f'х (1,2) = 2∙1+2²= 6, f'у (1,2) = 2∙ 1∙ 2+ +3∙2² = 16.

Рисунок 18

 

Частные производные функции двух переменных имеют простой

геометрический смысл.

 

Рассмотрим в пространстве XYZ поверхность S, имеющую уравнение

z= f(х, у). Эта поверхность изображает функцию f(х, у).

Дадим переменным х и у значения х0, у0. По определению f'х0, у0) есть обыкновенная производная (по х) от функции одной переменной

 

f(х, у0) при х = х0. График этой функции мы получим в сечении поверх­ности S плоскостью у = у0.

Так как производная функции одной переменной х в данной точке равна тангенсу угла наклона к оси ОХ касательной к графику функции в этой точке, заключаем, что f'х0, у0) есть тангенс угла φ, составленного с осью ОХ касательной, проведенной в точке N00, у0, f(х0, у0)) к сече­нию поверхности S плоскостью у = у0 (рис. 18).

Аналогично f'у0, у0) есть тангенс угла θ, составляемого с осью OY касательной, проведенной в точке N0 к сечению поверхности S плоско­стью х = х0 (рис. 19).

Для функций любого числа п переменных частные производные вво­дятся так же, как и для функций двух переменных. А именно, частная производная от функций и = f (х, у, z,…w) по любому из независимых переменных в точке (х, у, z,…w) есть предел отношения частного прира­щения функции в этой точке к приращению соответствующей независи­мой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует и конечен). Обозначения аналогичны при­веденным выше.

Например, если и=f(х, у,z),

то

 
 

Рисунок 19


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 76 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции нескольких пере­менных | Необходимые условия дифференцируемости | Достаточные условия дифференцируемости. | Дифференциал | Замечание 2 | Функции двух переменных. | Замечание | Теорема | Экстремумы функций нескольких переменных | Правило определения экстремума функции двух независимых переменных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Понятие предела функции двух и более переменных| Дифференцируемость функции нескольких переменных

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)