Функции двух переменных.

Существует несколько эквивалентных между собой определений касательной полскости и поверхности. Предлагаемое ниже определение является естественным обобщением определения касательной (прямой) к кривой.

Пусть N₀ -точка данной поверхности. Рассмотрим на поверхности другую, переменную, точку N и проведем секущую прямую N₀ N

Плоскость, проходящая через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности в точке, если угол между секущей N₀ N и этой плоскостью стремится к нулю, когда расстояние N₀ N стремится к нулю, каким бы образом точка N на поверхности не стремилась к точке N₀.

1 -нормаль

2 –касательная плоскость

3 –угол j

Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке.

Замечание.

У поверхности в данной точке либо есть и тогда только одна касательная плоскость, либо ее

нет совсем. Рисунок21

Так, например, поверхность, заданная уравнением z= (коническая поверхность), в точке О (0, 0, 0) касательной плоскости не имеет.

Покажем, что у поверхности, заданной уравнением z=f(x,y), где f(x,y) -функция, дифференцируемая в точке Mo(x₀, y₀ ) касательная плоскость в точке No(x₀, y₀, f(x₀, y₀)) существует и имеет уравнение.

z - f(x₀, y₀)= (x₀, y₀)(x- x₀)+ (x₀, y₀)(y- y₀) (1)

Пусть N(x₀ +Dx, y₀ +Dy, z₀+Dz) -текущая точка поверхности. Обозначим через j угол между секущей N₀ N и плоскостью (1). Покажем, что при стремлении точки N к точке N₀ угол j или, что равносильно sinj, стремиттся к нулю. Этим и будет доказано, что плоскость (1) является касательной к данной поверхности в точке N₀.

Опустим из точки N перпендикуляр NK на плоскость (1) и перпендикуляр NM на плоскость.XOY –точка пересечения перпендикуляра NM с плоскостью (1) (рис. 22). Тогда

j=K N₀ N, │sinj│= .

При этом MM₀=

NN₁=│ (x₀ +Dx, y₀ +Dy)-z_N1│= =

=│Dz- (x₀, y₀)Dx- (x₀, y₀)Dy│

Если точка N стремится к точке N_0, Dx и Dy,а значит, r стремится к нулю.Так как функция f(x,y) дифференцируема в точке (x₀, y₀), величина NN₁ будет бесконечно малой более высокого по-рядка, чем r, т. е. Отношение при N будет стремиться к нулю. Отсюда следует что sinj, и сам угол j стремятся к нулю, когда N .

Таким образом, мы доказали, что если функция z=f(x,y) в точке (x₀, y₀) дифференцируема, то изображающая ее поверхность Рисунок22

в точке No(x₀, y₀, f(x₀, y₀)) имеет невертикальную касательную плоскость.

Можно доказать и обратное утверждение: если в точке No(x₀, y₀, f(x₀, y₀))

поверхность, изображающая непрерывную функцию z=f(x,y), имеет невертикальную касательную плоскость, то функция f(x,y) в точке (x,y)

дифференцируема.

По виду уравнения (1) касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z=f(x,y), в точке No, легко написать уравнения нормали:

(2)

Пример:

Составить, уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением z= в точке No(2, 3, 2 ).

Так как частные производные

,

непрервны в точке Mo (2,3) и ее окресности, то функция z дифференцируема в точке Mo, т. е. данная поверхность имеет в точке No касательную плоскость и нормаль.

Уравнение касательной плоскости:

z-2

Уравнения нормали:

т. е.

Выясним теперь геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x₀, y₀). Это значит, что поверхность, заданная уравнением z=f(x,y), имеет в точке No(x₀, y₀, f(x₀, y₀) касательную плоскость.

Дата добавления: 2015-08-13