Дифференцируемость функции нескольких переменных

Рассмотрим снова функцию двух переменных z = f(х, у) в некото­рой (открытой) области. Пусть (х, у) – точка этойобласти. Перейдем из точки (х, у) в какую-нибудь точку (х + Δ х, у + Δ у) той же области. При этом функция z = f(х, у) получит приращение

Δ z = f(х + Δ х, у + Δ у) - f (х, у).

В отличие от частных приращений Δ_x z и Δ_у z это приращение назы­ва­ется полным приращением функции z = f(х, у) в точке (х, у), соот­ветст­вующим приращениям Δ х и Δ у независимых перемен­ных. Геометрически Δ z пред­ставляет собой раз­ность аппликат точек по­верхности z = f(х, у), соот­ветствующих точкам (х, у) и (х + Δ х, у + Δ у) (рис.20) В зависимо­сти от вида и вели­чин Δ х и Δ у пол­ное прира­щение функции может быть больше нуля меньше

Рисунок 20 или равно нулю.

Если функция z=f(х,у) непрерывна в точке (х, у), то

то как легко ви­деть, функция z = f(х, у) непрерывна в точке (х, у).

Функция z = f(х, у) называется дифференцируемой в точке (х,у), если ее полное при­ращение в этой точке можно представить в виде:

Δ z = А(х, у) Δ х + В(х, у) Δ у + α₁ Δ х + α₂ Δ у, (1)

где α₁ и α₂ – бесконечно малые приΔ х→ 0, Δ у→ 0 (или, короче, при

Соотношение (1) часто записывают в более сжатой форме:

Δ z = А(х, у) Δ х + В(х, у) Δ у + αρ. (1')

Здесь

При этом слагаемое А(х, у) Δ х + В(х, у) Δ у, линейное относи­тельно Δ х и Δ у, называется главной частью приращения, так как остав­шееся слагаемое а₁ Δ х + а₂ Δ у, т.е. αρ, есть бесконечно малая более высо­кого порядка, чем Δ х и Δ у (или, короче, чем ρ).

¹) В основу определения дифференцируемости функции z=f(x,y) можно было бы по­ложить представленные Δ z в виде (1'), где α→0 при ρ→0, а представление (1) по­лучить как следствие.

Действительно

где; здесь | α₁| ≤| α |, | α₂ | ≤ | α |, т. е. α₁ и α₂→0 при ρ→0.

Пример. Функция z=x²y будет дифференцируемой в любой точке (х,у), так как

Δ z=(x +Δ x) ² (y +Δ y)–x ² y= 2 xy Δ x + x ²Δ y +2 x Δ x Δ y+y( Δ x) ²+ ( Δ x) ²Δ y.

Здесь 2 xy Δ x + x ²Δ y – главная линейная относительно Δ x и Δ y часть полного прира­щения функции, а слагаемое ( 2 x Δ y+y Δ x) Δ x + ( Δ x) ²Δ y есть бесконечно малая выс­шего порядка по сравнению с Δ x и Δ у.

Данное выше определение дифференцируемости функции двух пере­менных является естественным обобщением определения дифференци­руемости функции одной переменной.

Установлено, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Последнее условие оказалось и достаточным, т. е. из существования про­изводной функции одной переменной в данной точке следует дифферен­цируемость функции в этой точке. Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух переменных.

Дата добавления: 2015-08-13