Экстремумы функций нескольких переменных

Пусть z =f (x,y)- функция двух переменных определена в некоторой области D; (x₀, y₀ )єD. Точка с координатами (x₀, y₀) называется точкой максимума функции f(x,y), если f(x,y) f(x₀, y₀).

Точка с координатами (x₀, y₀) называется точкой минимума функции f(x,y), если f(x,y) f(x₀, y₀).

Точки максимума и минимума называются ее точками экстремума.

Значения функций в точках максимум и минимум называются максимумами и минимумами или экстремумами этой функции.

Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке с координатами (x₀, y₀) сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках.

Покажем, что если в точке экстремума (x₀, y₀) существует f ′_x(x₀, y₀) и

f ′_y(x₀, y₀) то они равны нулю.

Пусть точка с координатами (x₀, y₀) – точка максимума. Тогда по определению существует окрестность этой точки, для всех точек которой f(x,y) f(x₀, y₀).

В частности, f(x, y₀) f(x₀, y₀) для всех х из некоторой окрестности

x₀ – δ < x < δ + x₀ точки x₀. Это значит, что функция одной переменной f(x, y₀) дифференцируемая в т. x₀ имеет в ней максимум и, следовательно, выполняется необходимое условие, экстремума функции одной переменной f ‘_x(x, y₀) = 0

Аналогично, рассматривая f(x₀, y), находим f ‘_y(x₀, y) = 0.

Таким образом мы получаем необходимые условия экстремума функции двух переменных.

Теорема. Если функция f(x,y) в точке с координатами (x₀, y₀)

имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные

f ′_x(x₀, y₀) = 0, f ′_y(x₀, y₀) = 0, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.

Пусть функция f(x,y) задана в некоторой области. Будем называть ее критическими точками в этой области точки в которых f ′_x(x, y), f ′_y(x, y) одновременно равны нулю или хотя бы одна из них не существует.

Дата добавления: 2015-08-13